数学建模讲座(一)什么是数学建模？.pptVIP

数学建模讲座 第一讲 什么是数学模型 建模示例 椅子能在不平的地面上放稳？ * 玩具、照片… ~ 实物模型 风洞中的飞机… ~ 物理模型 地图、电路图… ~ 符号模型 模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行 简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。 我们常见 的模型 什么是数学模型 建立数学模型 你碰到过的数学模型——“航行问题” 用x表示船速，y表示水速，列出方程： 求解得到 x=20, y=5, 答：船速每小时20公里 航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（x=20, y=5）； 回答原问题（船速每小时20公里）。 数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling) 数学模型:对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当 的数学工具，得到的一个数学结构。 数学建模：建立数学模型的全过程 （包括建立、求解、分析、检验）。 数 学 建 模 的 重 要 意 义 电子计算机的出现及飞速发展 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透 数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。 数学建模 计算机技术 如虎添翼 知识经济 问题 椅子能在不平的地面上放稳吗？ 1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方形； 2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面； 3.对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。 模型假设 A B C D t A‘ B‘ C‘ D‘ O x 模型构成 椅脚连线为正方形ABCD(如右图)。 t ~椅子绕中心点O旋转角度 f(t)~A,C两脚与地面距离之和 g(t)~B,D两脚与地面距离之和 f(t), g(t) 0 模型构成 由假设1，f和g都是连续函数 由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地：对任意t ，f(t)和g(t)中至少有一个为0。当t=0时,不妨设g(t)=0,f(t)0,原题归结为证明如下的数学命题： 已知f(t)和g(t)是t的连续函数,对任意t, f(t) ?g(t)=0,且g(0)=0,f(0)0。则存在t0，使f(t0)= g(t0)=0 模型求解 O x A‘ B‘ C‘ D‘ A B C D t 最后，因为f(t) ?g(t)=0，所以f(t0)= g(t0)=0。 令h(t)= f(t)-g(t),则h(0)0和h( ) 0，由f和g的连续性知h也是连续函数。根据连续函数的基本性质,必存在t0 （0t0 ),使h(t0 )=0，即f(t0)= g(t0)。 将椅子旋转90o,对角线AC与BD互换。 由g(0)=0,f(0)0可知g( )0,f( )=0 建模示例 商人们怎样安全过河 问题(智力游戏) ? ? ? 3名商人 ? ? ? 3名随从 河 小船(至多2人) 随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货. 但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河? 问题分析 多步决策过程 决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员 要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河 模型构成 xk~第k次渡河前此岸的商人数 yk~第k次渡河前此岸的随从数 xk, yk=0,1,2,3; k=1,2,? sk=(xk , yk)~过程的状态 S={(x , y)? x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2} S ~ 允许状态集合 uk~第k次渡船上的商人数 vk~第k次渡船上的随从数 dk=(uk , vk)~决策 D={(u , v)? u+v=1, 2} ~允许决策集合 uk, vk=0,1,2; k=1,2,? sk+1=sk dk +(-1)k ~状态转移律 求dk?D(k=1,2, ?n), 使sk?S按转移律 由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0). 多步决策问题 模型求解 x y 3 3 2 2 1 1 0 穷举法 ~ 编程上机 图解法 状态s=(x,y) ~ 16个格点 ~ 10个 点 允许决策D ~ 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移. s1 sn+1 d1, ?d11给出安全渡河方案 评注和思考 表格化方法, 易于推