第三章 二维随机变量与其分布.ppt

第三章 二维随机变量及其分布;(X, Y);性质 (1) F(x, y) 分别关于 x, y 单调不减. (2) F(x, y) 分别关于 x, y 左连续. (3) 0 ? F(x, y) ? 1, 且 F(??, y) = F(x, ??) = F(??, ??) = 0, F(+?, +?) = 1.;随机点落在矩形域的概率 P{x1 ? X ? x2, y1 ? Y ? y2} = F(x2, y2) ? F(x2, y1) ? F(x1, y2) + F(x1, y1).;二维离散型随机变量 (X, Y) 的可能取值是有限或可列无限个实数对. (X, Y)的联合概率分布(分布律): P{X = xi, Y = yj} = pij, (i, j = 1, 2, 3, …).;例1 袋中有三个球, 依次标有数字1, 2, 2, 从中任取一个, 不放回袋中, 再任取一个. X, Y分别为第一, 二次取到的球上的数字, 求(X, Y)的联合分布列. 解 (X, Y)的可能取值为(1, 2), (2, 1), (2, 2). P{X = 1, Y = 2} = (1/3)?(2/2) = 1/3, P{X = 2, Y = 1} = (2/3)?(1/2) = 1/3, P{X = 2, Y = 2} = (2/3)?(1/2) = 1/3,;例2 设二维随机变量(X, Y)可能取值为 (0, 0), (?1, 1), (?1, 1/3), (2, 0) 且取这些值的概率依次为 求(X, Y)的分布列. 解;二元连续型随机变量(X, Y)的分布函数 其中 f (x, y) 称为 (X, Y)的(联合)概率密度(分布密度).;性质(1) f (x, y) ? 0; (2) (3) 在连续点处 (4) (X, Y)落在区域 D 的概率;例3 设 (X, Y) 的概率密度为 (1)确定常数 k; (2) 求(X, Y)的分布函数; (3)求 P{0 X ? 4, 0 Y ? 1}; (4) 求 P{X y}. 解 (1) k = 6, 因为;(2);(3);(4);2;(2);区域 D 上的均匀分布;例 设(X, Y)服从区域 D 上的均匀分布, D 为 x 轴, y 轴及直线 y = 2x + 1 所围成的三角形区域. 求 P{Y 1/2}.;思考 设 (X, Y)服从 D 上的均匀分布, D 为 x 轴, y 轴及直线 y = 2x + 1 所围成的三角形区域. 求其分布函数. 解 (X, Y)的密度函数;(2)当 ?1/2 x ? 0 且 0 y ? 2x + 1 时,;(4)当 x 0 且 0 y ? 1 时,;综上, 所求的分布函数为;二维正态分布 N(?1, ?2, ?12, ?22, ?):;第三章 二维随机变量及其分布;边缘分布;二维随机变量(X, Y)是把两个随机变量视为一个整体, 讨论其联合取值规律: F(x, y) = P{X x, Y y}. 边缘分布问题: 由二维随机变量(X, Y)的分布来确定两个一维随机变量 X, Y 各自的分布.; 设二维随机变量(X, Y)的分布函数为F(x, y), 则 FX(x) = P{X x} = P{X x, Y +?} = F(x, +?), FY(y) = P{Y y} = P{X +?, Y y} = F(+?, y) 依次称为 (X, Y) 关于 X 和 Y 的边缘分布函数.;二维离散型的边缘分布;关于 X 的边缘分布;例1 设二维离散型随机变量(X, Y)的联合分布律为;二维连续型随机变量的边缘分布 ;例2 设(X, Y)的联合密度为 求 k 值和两个边缘分布密度. 解 由;1;例3 设(X, Y)的联合分布密度;?1;(3);若 (X, Y) ~ N(?1, ?2, ?12, ?22, ?)?,则两个边缘分布分别服从正态分布: X ~ N(?1, ?12), Y ~ N(?2, ?22), 与相关系数 ? 无关. 一般地, 联合分布可确定边缘分布, 但边缘分布未必能确定联合分布.;随机变量 X 和 Y 相互独立:F(x, y) ? FX(x)FY(y). 对于离散型和连续型的随机变量, 该定义分别等价于 pij ? pi? p?j f (x, y) ? fX(x)fY(y). ?在很多实际问题中, 随机变量的相互独立性是不难判断的. ?相互独立时, 边缘分布可确定联合分布.;例1 设(X, Y)的分布律为;例2 设(X, Y)的概率密度为;(2) 边缘密度函数;例3 设 (X, Y)服从区域 D 上的均匀分布, D 为 x 轴, y轴及直线 y = 2x + 1 所围成的三角形区域. 判断 X, Y