拓扑空间构建思想的认知.pdfVIP

广西民族大学学报(自然科学版) 第13卷第4期 JOURNAL OF GUANGXi UNIVERSITY FOR NATIONALITIES V01．13 No．4 2007年 11月 (Natural Science Edition) NOV．2007 拓 扑 空 间构 建 思 想 的认 知 卢卫君，方丽菁，唐 亮 (广西民族大学 数学与计算机科学学院，广西 南宁 530006) 摘 要：拓扑空间是集合高度抽象化的概括性产物，深入认知它的构建思想内涵是非常有必要的．文章 从中英文含义诠释拓扑的直观意义，通过联系对比向量定义及 Rieman积分与Lebesgue积分理 论的构建思想去剖析开集定义及拓扑空间的构建思想，提出一种所谓“若即若离”的认知理念， 指出了拓扑学的归属范畴及其广泛的应用前景，以及学习拓扑所带来的高品质的数学素养． 关键词：拓扑；构建思想；开集；度量；捆扎；若即若离；应用前景 中图分类号：0189．3 2 文献标识码：A 文章编号：1673—8462(2007)04—0051—06 1 空间需要抽象化 本科生、研究生提高对拓扑的理解，并能激发乐趣把 追求用简洁(simplicity)的语言来解释复杂的几 那些高水平的拓扑书阅读下去，不至于把一些本来看 何现象是几何学家的目标 ．当今数学的核心领域 上去很美、很有现代气息的拓扑概念看得没头没脑、 前沿在不断推进并产生了不少令人惊诧的成就，它的 不知来龙去脉． ‘ 发展表现比较突出的特征是具有更高的抽象性和更 强的统一性 ．众所周知，数学专业本科最重要的基 2 拓扑的中英文含义及直观意义 础课程一数学分析，它的众多概念如定义域和值域都 的拓扑朴素思想 是欧氏空间(直线，平面或空间等)或是其中一部分， “拓扑”似乎名称有点怪，有点玄，又是让学生听 但是欧氏空间所能解释的只是很简单的理想化的几 起来后怕的术语．其实，“拓扑”起初叫做形势分析 何现象．这需要人们用更纯正的方式去认知空间，产 (analysis situs) ，是莱布尼茨(Leibniz)1679年提出 生包容性更大的概念和理论，需要抽象出新的概念和 的名词．1736年欧拉的哥尼斯堡七桥问题(如图1， 空间．下面讨论的拓扑和拓扑空间就属于这一范畴． 要求设计一条散步路线，使河上的每桥走一次且只过 如今一些普通高校的数学专业本科基本不开设拓扑 一 次)及 1852年的地图四色问题(四种颜色足够把所 方面的课程，即使列为选修课的“点集拓扑”，也沦落 有地图涂上颜色，使得具有至少一条公共边界的国家 为一门可有可无的课程．在当前急功近利的就业观 都涂上不同的颜色)等拓扑问题称为“位置几何” 和浮躁的学习心态下，选修这门课的数学专业本科生 (geometniam situs)[引 ． 人数寥寥无几．本文的目的之一是希望数学专业的 收稿日期：2007—09—20． 基