常微分方程第二版答案第三章.doc

习题3—1 1． 判断下列方程在什么区域上保证初值解存在且唯一. 1）； 2）； 3）. 解 1）因为及在整个平面上连续，所以在整个平面上满足存在唯一性定理的条件，因此在整个平面上初值解存在且唯一. 2）因为除轴外，在整个平面上连续，在在整个平面上有界，所以除轴外，在整个平面上初值解存在且唯一. 3）设，则故在的任何有界闭区域上，及都连续，所以除轴外，在整个平面上初值解存在且唯一. 2． 求初值问题 R：. 的解的存在区间.并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计. 解 设，则，，所以 . 显然，方程在R上满足解的存在唯一性定理，故过点的解的存在区间为：. 设是方程的解，是第二次近似解，则 ，， . 在区间上，与的误差为 . 取，故. 3． 讨论方程在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件.并求通过点的一切解. 解 设，则.故在的任何有界闭区域上及都是连续的，因而方程在这种区域中满足解的存在唯一性定理的条件.显然，是过的一个解.又由解得.其中. 所以通过点的一切解为及如图. 4． 试求初值问题 ，， 的毕卡序列，并由此取极限求解. 解 按初值问题取零次近似为， 一次近似为 ， 二次近似为 , 三次近似为 , 四次近似为 ， 五次近似为 ， 一般地，利用数学归纳法可得次近似为 ， 所以取极限得原方程的解为 . 5． 设连续函数对是递减的，则初值问题，的右侧解是唯一的. 证 设，是初值问题的两个解，令，则有.下面要证明的是当时，有. 用反证法.假设当时，不恒等于0，即存在，使得，不妨设，由的连续性及，必有，使得，，. 又对于，有，，，则有 ，. 由（）以及对是递减的，可以知道：上式左端大于零，而右端小于零.这一矛盾结果，说明假设不成立，即当时，有.从而证明方程的右侧解是唯一的. 习题3—3 1． 利用定理5证明：线性微分方程 （） 的每一个解的（最大）存在区间为，这里假设在区间上是连续的. 证 在任何条形区域（其中）中连续，取，，则有 . 故由定理5知道，方程的每一个解在区间中存在，由于是任意选取的，不难看出可被延拓到整个区间上. 2． 讨论下列微分方程解的存在区间： 1）； 2）； 3）. 解 1）因在整个平面上连续可微，所以对任意初始点，方程满足初始条件的解存在唯一. 这个方程的通解为.显然，均是该方程在上的解.现以，为界将整个平面分为三个区域来讨论. ⅰ）在区域内任一点，方程满足的解存在唯一.由延伸定理知，它可以向左、右延伸，但不能与，两直线相交，因而解的存在区间为.又在内，，则方程满足的解递减，当时，以为渐近线，当时，以为渐近线. ⅱ）在区域中，对任意常数，由通解可推知，解的最大存在区间是，又由于，则对任意，方程满足的解递增.当时，以为渐近线，且每个最大解都有竖渐近线，每一条与轴垂直的直线皆为某解的竖渐近线. ⅲ）在区域中，类似，对任意常数，解的最大存在区间是，又由于，则对任意，方程满足的解递增.当时，以为渐近线，且每个最大解都有竖渐近线.其积分曲线分布如图（ ）. 2）因在整个平面上连续，且满足不等式 ， 从而满足定理5的条件，故由定理5知，该方程的每一个解都以为最大存在区间. 3）变量分离求得通解，故解的存在区间为. 3．设初值问题 ： ， 的解的最大存在区间为，其中是平面上的任一点，则和中至少有一个成立. 证明 因在整个平面上连续可微，所以对任意初始点，方程满足初始条件的解存在唯一. 很显然，均是该方程在上的解.现以，为界将整个平面分为三个区域来进行讨论. ⅰ）在区域内任一点，方程满足的解存在唯一.由延伸定理知，它可以向左、右延伸，但不能与，两直线相交，因而解的存在区间为.这里有，. ⅱ）在区域中，由于，积分曲线单调上升.现设位于直线的下方，即，则利用的右行解的延伸定理，得出的解可以延伸到的边界.另一方面，直线的下方，积分曲线是单调上升的，并且它在向右延伸时不可能从直线穿越到上方.因此它必可向右延伸到区间.故至少成立. 类似可证，对，至少有成立. 4． 设二元函数在全平面连续.求证：对任何，只要适当小，方程 的满足初值条件的解必可延拓到. 证明 因为在全平面上连续，令，则在全平面上连续，且满足. 对任何，选取，使之满足.设方程经过点的解为，在平面内延伸为方程的最大存在解时，它的最大存在区间为，由延伸定理可推知，或或为有限数且.下证后一种情形不可能出现. 事实上，若不然，则必存在，使.不妨设.于