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第2章 自动控制系统的数学模型 2.1 系统的微分方程 2.2 拉普拉斯变换 2.3 传递函数 2.4 系统方框图 2.5 典型环节的传递函数和方框图 2.6 环节的基本连接方式及其总传递函数 2.7 方框图的等效变换及化简 习题 2.1 系统的微分方程 描述系统的输入量和输出量之间的关系的最直接的数学方法是列写系统的微分方程（Differential Equation of Systems）。 当系统的输入量和输出量都是时间t的函数时， 其微分方程可以确切地描述系统的运动过程。 微分方程是系统最基本的数学模型。 1. 建立系统微分方程的一般步骤 建立系统微分方程的一般步骤如下： （1） 全面了解系统的工作原理、 结构组成和支持系统运动的物理规律， 确定系统的输入量和输出量。 （2） 一般从系统的输入端开始， 根据各元件或环节所遵循的物理规律， 依次列写它们的微分方程。 （3） 将各元件或环节的微分方程联系起来消去中间变量， 求取一个仅含有系统的输入量和输出量的微分方程， 它就是系统的微分方程。 （4） 将该方程整理成标准形式。 即把与输入量有关的各项放在方程的右边， 把与输出量有关的各项放在方程的左边， 各导数项按降幂排列， 并将方程的系数化为具有一定物理意义的表示形式， 如时间常数等。 2. 建立系统微分方程举例 下面举例进一步说明建立系统微分方程的过程。 【例 1】 有源电路网络如图 2 - 1所示， 试列写其微分方程。 系统中： ur(t)——输入电压； uc(t)——输出电压； K0——运算放大器开环放大倍数。 【例2】 图 2 - 2所示为一有源RC网络， 设电路输入电压为ur(t)， 输出电压为uc(t)。 图中A为理想运算放大器， 试列写其微分方程。 【例3】 如图 2 - 3所示的RLC串联电路， 设输入量为ur(t)， 输出量为uc(t)， 试列写出该网络的微分方程。 【例4】 如图 2 - 4所示为一化工生产中常见的双容液位对象。 设输入量F1为流入液体流量， 输出量L2为储罐2的液位高度。 试建立L2与F之间的动态方程。 【例5】 如图 2 - 5所示为电枢电压控制的他励直流电动机的示意图。 直流电动机是调速系统的被控对象。 现以电枢电压ua为输入量，电动机转速n为输出量， 试建立其微分方程。 【例6】 如图 2 - 6所示为一个弹簧、 质量和阻尼器组成的机械系统， 若外力F(t)作用于质量为m的物体， 其输出量y(t)为位移， 试列写该系统F(t)与y(t)之间的微分方程。 解 根据牛顿第二定律， 可得 将式(2 - 20)、 式(2 - 21)代入式（ 2 - 19）， 可得微分方程为 式（ 2 - 22）描述的弹簧-质量-阻尼系统为二阶常系数线性微分方程， 此系统也是一个二阶系统（环节）。 对于由多个环节组成的各类控制系统的微分方程， 其建立过程可由原理图画出系统方框图， 并分别列写出各环节的微分方程， 再消去中间变量， 即可得到描述该系统的输入量与输出量之间关系的微分方程。 2.2 拉普拉斯变换 1. 拉氏变换的概念 若将时间域函数f(t)， 乘以指数函数e-st（其中s=σ+jω， 是一个复数）， 再在0～∞(本书如无特指， ∞均指+∞)之间对t进行积分， 就得到一个新的复频域函数F(s)。 F(s)称为f(t)的拉氏变换式， 并可用符号 L ［f(t)］表示。 式(2 -23)称为拉氏变换的定义式。 为了保证式中等号右边的积分存在（收敛）， f(t)应满足下列条件： (1) 当t0时， f(t)=0； (2) 当t0时， f(t)分段连续； (3) 当t→∞时， f(t)上升较est慢。 【例1】 求单位阶跃函数（Unit Step Function）1(t)的象函数。 解 在自动控制系统中， 单位阶跃函数是一个突加作用