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* 有限元分析基础理论与方法 　　求单元节点力的虚功： (13) 再求内力虚功： (14) (15) 式中，V－单元体积。 将式(12)和式(8)代入到式(14)中，得到 式中, ?qeT和qe可视为常值,将其移出积分号之外,即 * 有限元分析基础理论与方法 (15a) (16) (17) 考虑到虚位移的任意性,可以将式(16)中两边的?qeT消除,得 或 式中, 将式(13)和式(15a)代入到虚功方程,得 (17a) (17b) 将前述的[B]和[D] 矩阵代入到式(17b)中，可得到平面应 * 有限元分析基础理论与方法 (18) 式中,分块阵的表达式为 式中,t－－单元厚度。 力问题三角形单元刚度矩阵的分块表达式为 (18a) 将式(18)代入到式(17a)中并展开得 * 有限元分析基础理论与方法 (19) 　　2. 总刚度矩阵的形成 　　通过单元分析得到了单元特性方程Fe=Keqe,根据此式还不能求出qe。因为Fe是单元之间的作用力,属于内力,是未知的，而通常知道的是结构所受的外力。由于内力成对出现,它们大小相等,方向相反,因此,如果将每个单元的特性方程叠加,便能消除这些成对的内力,最终只剩下已知的外力,而单元的刚度则集成为整体刚度。这也就是由单元刚度形成总刚的目的。 * 有限元分析基础理论与方法 　　单元分析时已对单元的每一个节点建立了平衡方程。如式(19)中的第一式表明单元中节点i上的节点力等于该单元三个节点i、j、 k的位移在节点i上所引起的节点力的叠加。这是一个单元对它的一个节点的节点力。而整体结构是由多个单元所组成的,即一个节点往往为几个单元所共有,则这个节点上的节点力就应该是共有这个节点的几个单元的所有节点位移在该节点上引起的节点力叠加总和。结构平衡时,每个节点也是平衡的。设作用在节点i上的载荷为{Ri} ,则节点i处的平衡方程为。 (20) 将式(19)的第一式代入到式(20)中,得 * 有限元分析基础理论与方法 　　对于结构中的所有节点，则有 (21) (22) 　　式中　n－节点总数。 　　将式(22)记为 式中，{q}=(q1， q2 ， … ，qn)T，是由所有节点的位移分量组成的列阵； {R}=(R1，R2，…，Rn)T，是由所有作用在节点上的载荷组成的列阵；[K]是要求的总刚度矩阵，表达式为 (23) * 有限元分析基础理论与方法 　　式(23a)为整个结构的平衡方程，称为有限元方程或刚度方程。 (23a) 　　3. 载荷转移 　　在式(23)中载荷列阵{R}的元素为作用在节点上的外载 荷，是集中力。但结构上的载荷除了集中力之外，往往还有分布的面力和体力，不可能只作用在节点上，另外，即使是集中力也不一定刚好作用在节点上，因此，需要将这些载荷转换为节点载荷,即将载荷向节点移置。 　　载荷移置遵循能量等效原则，即原载荷与移置载荷产生的节点载荷在虚位移上所做的功相等。对于给定位移的函数， * 有限元分析基础理论与方法 这种移置的结果是唯一的。 在线形位移函数情况下，也可以按静力等效原则进行移置。 　　载荷移置是在结构的局部区域内进行的。根据圣维南原理,这种移置可能在局部产生误差,但不会影响整个结构的力学特性。 　　(1) 集中力的移置 　　集中力的移置是面力和体力的基础。如图2所示,设平面单元e中某一点(x,y)作用集中力Pc 　　设Pc移置后产生的等效节点载荷为 　　 * 有限元分析基础理论与方法 如果节点发生虚位移?qe,则单元内任一点位移为 集中力Pc所做的虚功为 * 有限元分析基础理论与方法 等效节点载荷所做的虚功为 　　根据能量等效原则,有 由于虚位移是任意的，可以从上式两边同时约去，故有 或 　　由上两式可见，载荷移置的结果仅与单元形函数有关， (24) (24a) * 有限元分析基础理论与方法 当形函数确定后，移置的结果是唯一的。 　　(2) 面力的移置 　　设厚度为t的平面单元单位面积上作用的面力为Ps ＝(psx, psy)T,如图3所示。并将微元面积dA=tdl上的面力PsdA视为集中力，利用式(24)并积分，可得与面力等效的移置节点载荷为 或 　 (25) (25a) * 有限元分析基础理论与方法 根据形函数的特点，在ij边上有Nk=0，所以 。因此在ij边上作用的面力只能移置到该边的两个节点上。 　　(3) 体力的移置 　　设单元体积内作用的体力为Pv ＝(pvx, pvy)，若将微元体tdxdy上的体力Pv tdxdy视为集中力，则利用式(24)并积分，可得与体力等效的移置节点载荷为 或 　 (26) (26a) * 有限元分析基础理论与方法 　　一般