5.1拉格朗日插值.pptVIP

插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应用 。在生产和实验中，函数f(x)或者其表达式复杂不便于计算，或者无表达式而只有函数在给定点的函数值(或其导数值) ，此时我们希望建立一个简单的而便于计算的函数(x)，使其近似的代替f(x)，有很多种插值法,其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点,常用的插值还有Hermit插值,分段插值和样条插值. §5.1拉格朗日插值 计算方法 计算方法 (5.1) 插值法的基本原理 计算方法 计算方法 计算方法 由于代数多项式具有数值计算和理论分析方便 的优点。所以本章主要介绍代数插值。即求一个次 数不超过n次的多项式 满足 则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。这种 插值法通常称为代数插值法。 计算方法 其几何意义如下图所示：(点击播放) 计算方法 计算方法 计算方法 例1 求过点(0,1)、(1,2)、(2,3)的三点插值多项式 解: 设 （给定的三个点在一条直线上） 计算方法 惟一性说明，不论用何种方法来构造，也不论用何种形式来表示插值多项式,只要满足插值条件(5.1)其结果都是相互恒等的。 计算方法 先从最简单的线性插值(n=1)开始。 这时插值问题就是求一次多项式 P1(x)=a0+a1x 使它满足条件 P1(x0)=y0 , P1(x1)=y1 , 令P1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1 , 由于 l0(x0)=1, l0(x1)=0, l1(x0)=0, l1(x1)=1. 一、Lagrange插值多项式 计算方法 结果得到： 这样 l0(x), l1(x)称为以x0 , x1 为节点的插值基函数。 计算方法 一次拉格朗日插值几何意义（点击播放） 计算方法 例2 已知 , , 求 解: 这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11, 利用线性插值 计算方法 为了提高精确度，我们进一步考察以下三点的插值问题： 作二次多项式 P2(x)=a0 + a1x + a2x2使其满足 P2(x0)=y0 ,P2(x1)=y1 , P2(x2)=y2 令 P2(x)=l0(x)y0 + l1(x)y1 + l2(x)y2 。 由 l0(x0)=1 , l0(x1)=0 , l0(x2)=0 , l1(x0)=0 , l1(x1)=1 , l1(x2)=0 , l2(x0)=0 , l2(x1)=0 , l2(x2)=1 . 计算方法 这样得 则： l0(x) , l1(x) , l2(x) 称为以 x0 , x1 , x2为节点的插值基函 数。 计算方法 二次插值几何意义（单击播放） 计算方法 仿照线性插值和二次插值的办法，进一步讨论一般形式的 n 次多项式 Pn(x)=a0 +a1x +a2x2 + …+ anxn , 使其满足Pn(x0)=y0 ,Pn(x1)=y1 , ...... , Pn(xn)=yn 我们仍从构造插值基函数着手，先对某个固定的下标k， 作n次多项式lk(x), 使其满足条件 容易求得 计算方法 上式就是Lagrange插值多项式，lj(x)称为以x0，x1,... , xn为节点的Lagrange插值基函数。 计算方法 例3 求过点(0,1)、(1,2)、(2,3)的三点插值多项式 解:由Lagrange 插值公式 （给定的三个点在一条直线上） 计算方法 例4 已知f (x)的观测数据 x 0 1 2 4 f (x) 1 9 23 3 构造Lagrange插值多项式 解 四个点可构造三次Lagrange插值多项式:基函数为 计算方法 Lagrange插值多项式为 计算方法 例5 已知f(x)的观测数据 x 1 2 3 4 f(x) 0 -5 -6 3 构造插值多项式 解: 四个点可以构造三次插值多项式, 将数据 代入插值公式，有 这个例子说明p(x)的项数不超过n+1项，但可以有 缺项。 计算方法 x0x1