5.2留数.pptVIP

§5.2 留 数 一、有限远处孤立奇点的留数 二、留数定理及留数的求法 2.留数的计算方法 三、无穷远点的留数 小结与思考 一、留数的引入 二、留数定理及留数的求法 三、无穷远点的留数 设 为 的一个孤立奇点， 内的洛朗级数为: 在 C为该邻域内包含 的任一条正向简单闭曲线． . 1、引入 0 (重要积分公式或 高阶导数公式) 0 (柯西-古萨基本定理) 2、定义 说明: 留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求 被积函数在C内各孤立奇点处的留数. 1.留数定理 点的一条正向简单闭曲线, 在区域 D内除有限个孤 外处处解析, 立奇点 函数 C 是 D内包围各奇 那么 证 [证毕] 两边同时除以 得 根据复合闭路定理， . D C . . 即 如图： (1) 如果 为 的在有限远处的可去奇点, 成洛朗级数求 (2) 如果 为 的本性奇点, 展开 则需将 如果 为 的单极点, 那么 规则1 (3) 如果 为 的极点, 除利用洛朗级数求留数外 还有如下计算规则 例3 求 在孤立奇点处的留数． 解 规则2 如果 设 及 在 的领域内都解析， 证 的一级零点, 为 的一级极点. 为 那么 为 的一级极点, 且有 解析且 在 因此 其中 在 解析且 为 的单极点, 例4 解 由规则２， 如果 为 的 级极点, 规则3 证 那么 +(含有 正幂的项) 两边求 阶导数, [证毕] 得 例5 求 在 的留数. 解 例6 求 在 的留数. 分析 是 的三级零点 由规则2得 计算较麻烦. 如果利用洛朗展开式求 较方便: 解 说明: 如 为 m 级极点，当 m 较大而导数又难以计算时, 可直接展开洛朗级数求 来计算留数 . 2. 在应用规则2时, 取得比实际的级数高. 级数高反而使计算方便. 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则. 为了计算方便一般不要将m 但有时把m取得比实际的 如上例取 例7 求 在 的留数. 解 是 的四级极点. 在 内将 展成洛朗级数: 例7 求 在 的留数. 解法二 1.定义 注意积分路线取顺时针方向（可看作绕 的正向） . . . . . . . 证 由留数定理有: (绕原点的并将 内部的正向简单闭曲线) 包含在 2.定理 如果函数 在扩充复平面内只有有限个 孤立奇点, 那末 在所有各奇点 (包括 点) 的留数的总和必等于零. [证毕] 3.有限远处孤立奇点的留数与无穷远点的留数的关系: (留数定理) 优点: 若有限远处孤立奇点很多，可利用无穷远点的留数来计算积分，避免了计算诸有限孤立奇点处的留数. 4. 推论1： 2）规则4 5.在无穷远点处留数的计算 现取正向简单闭曲线C为半径足够大的 正向圆周 : 于是有 证明： 1）定义法 内除 在 外无其他奇点 . [证毕] 此法在很多情况下此法更为简单，为计算闭路积分提供了更方便的方法. 6. 推论2： 四、留数定理的应用 1） 2） 例10 利用留数定理计算积分 C分别为下列正向简单闭曲线: 解 为单极点, 为二级极点,