数值分析.南京电大 36讲 szfx02.docVIP

数值计算中应注意的几个原则 关于数值稳定性的算法。 一个程序往往要进行大量的四则运算才能得出结果,每一步的运算均会产生舍入误差。在运算过程中,舍入误差能控制在某个范围内的算法称之为数值稳定的算法,否则就称之为不稳定的算法。 例: , 用分部积分公式得递推式:。 用四位有效数字计算: , , , ,, ,, ,. 可以估计出 故 ,。 于是与精确值已经面目全非,一位有效数字也没有。这是由于如果有误差,不计中间再产生的舍入误差,该误差随着计算过程分别乘以,到时已经变成了,误差扩大了4万倍。因而该算法不是稳定的。 如果递推式改为,由,逐步计算直到。计算结果有四位有效数字,如果有误差,其传播到所引起的误差仅为。故该算法是稳定的。 注意避免两个相近数的相减。 两个相近的数相减,有效数字会大大损失。前面一个例子已说明问题,这里再举一例: ,如用四位有效数字计算: ,结果只有一位有效数字;如改为: ,有四位有效数字。新算 法避免了两个相近数的相减。 简化计算步骤,减少运算次数。 例: 计算多项式的值: ,每取有次乘法运算,因此计算共需次乘法和加法运算。如将写成,用递推算法:,最终,共需次乘法和次加法运算。 一般地要注意,能在循环外计算,就不要放在循环内计算。 4.避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值。 ,当时, 舍入误差会扩大。 例:的舍入误差均为,而, 则的舍入误差为: 。 很小的数作除数有时还会造成计算机的 溢出而停机。 5.防止大数吃掉小数。 例如:. 用八位计算机进行计算: , 被大数吃掉了。 如按,就没有被吃掉。 这也是构造算法时要注意的问题。 第十章 线性方程组的数值解法 §1.高斯消去法 高斯消去法的基本思想 例1.解方程组。 解:方程组的矩阵形式为,其中 , , 。 第一步,消元过程: 对增广矩阵进行消元, , 即得方程组: 。 第二步,回代过程: ,, 此方法就是高斯消去法。 高斯顺序消去法的计算流程及公式 记初始方程组为。 ,即消去第到第个方程中的,假定, 目标是: 。 第到第个方程中的系数消为零,而消元过程中 第到第个方程的系数发生了变化。这些系数的 变化公式是怎样的呢?为消去第个方程的,只要: 第个方程-第个方程,是两个方 程的比例系数。这时,而其它系数和右端有: ,,。 对一般情况,第个方程的系数变化公式是将上面 公式中的改成。 从而得到消的计算流程: 我们来叙述消的情况, 在消之前,设消完后的增广矩阵为: 类似于第一次消元,我们的目标是想消去 第到第个方程中的,假定,因此 只要将前面流程中的替换成,替换成: 直到时,消元过程结束,成为上 三角矩阵,最后一个方程成为一元一次方程 (只含),相应的增广矩阵为: 注意:(1)和 (2) 两者公式相同,但的一次除法在循环外 是一次运算,而循环内做是次运算。 总的来讲,消元过程的流程为: 是一个三重循环过程。 现在来考虑回代过程 最后一个方程为, 所以,然后再计算, 第个方程为, 而此时已全部计算出, 则。 因此,回代公式为: