数值分析.南京电大 36讲 szfx10.docVIP

五、等距牛顿插值公式 插值节点为等距节点： ，,如下图： h h h ... h ... 其中，h称为步长，函数在的函数值为。 1. 差分的概念 一阶差分:； 二阶差分:一般地，m阶差分用m-1阶差分来定义：。 以上定义的是前差：从起向前的函数值的差，Δ称为向前差分算子。而下面定义向后差分，▽表示向后差分算子， ， ,…， 分别称为一阶，二阶，. . . ，m阶向后差分。 2. 差分的性质 性质1: n阶差分是n+1个函数值的线性组合， 验证：n=1时，； n=2时,  ; n=3时，  ； 一般地，可用数学归纳法证明此公式。对于后差，也有类似的公式，例如：。 性质2:在等距插值的情况下,差分和均差有如下关系： 验证：因为所以， 。 3. 等距节点的牛顿插值公式 设等距节点，记.当，令，. 例如（下图） x在x2，x3的中点时，。 将牛顿插值公式中的均差用差分(性质2的公式)代替,而从而,牛顿插值公式在等距插值节点下的形式为:余项为这是等距牛顿向前插值公式。下面来推导等距牛顿向后插值公式： 令（）,这时，余项为： 例4:设插值节点为,相应的函数值如下表f(2.2)。 xi yi Δyi Δ2yi Δ3yi Δ4yi 1 2.71828 1.76341 1.14396 0.74210 0.48146 1.5 4.48169 2.90737 1.88606 1.22356 2 7.28906 4.79343 3.10962 2.5 12.18249 7.90305 3 20.08554 解：精确值f(2.2)=e2.2=9.025011。 此时[xk, xk+1],x=2.2=1+2.4h 故t=2.4,于是 求时，在后加一项： ，所以 求时，在后再加一项： ，所以 3.分段插值 一、分段线性插值 随着插值结点数增加，插值多项式的次数也相应增加，而对于高次插值容易带来剧烈振荡，带来数值不稳定。既要增加插值结点，减小插值区间，又要不增加插值多项式的次数以减少误差，我们可以采用分段插值的办法。 1. 分段线性插值问题的提出 给定区间[a,b],将其分割成,已知函数在这些插值结点的函数值为,。求一个分段函数，使其满足：(1). ，; (2). 在每个区间上，是 个一次函数。 易知,P(x)是个折线函数，在每个区间（）上, 于是，在[a,b]上是连续的，但其一阶导数是不连续的（即不光滑的）。 2. 分段线性函数的基函数 我们从整体上来构造分段线性函数的基函数。每个插值结点上所对应的插值基函数应当满足： (1)是分段线性函数；(2) 对于， 于是，，此表达式与前面的表达式是相同的，这是因为在区间上，只有，是非零的，其它基函数均为零。即。例:已知函数在区间[0,5]上取等距插值节点（如下表），求区间上分段线性插值函数，并利用它求出近似值。 xi 0 1 2 3 4 5 yi 1 0.5 0.2 0.1 0.05882 0.03846 解：在每个分段区间上， 于是， 根据拉格朗日一次插值函数的余项,可以得到分段线性插值函数的插值误差估计:对x∈[a,b],当x∈[xk, xk+1]时,，则， 其中，。 于是可以加密插值结点，缩小插值区间，使h减小，从而减小插值误差。 3 15 Y X 1 x0 x1 x2 xn-1 xn xn xn-1 xn x1 x0 1 X Y xi+1 xi xi-1 xn-1 x2 x1 x0 1 X Y x0 x1 x2 x3 ? xn-1 xn Y X