一场有关高精度高斯- 勒让德算法的角逐.PDFVIP

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2017-06-28 发布于天津
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一场有关高精度高斯- 勒让德算法的角逐.PDF

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一场有关高精度高斯- 勒让德算法的角逐

athematics Education 数学教育一场有关高精度高斯 - 勒让德算法的角逐亚历克斯•汤森德 (Alex Townsend) / 文赵京/ 译典型的数值积分算法通常是如下面公式所演示的用有限和来给出定积分的近似值： n 1 f (x )dx ≈∑ω f (x ), ∫−1 j =1 j j ( 1) x x ω ω 其中， , …, n 和 , ... , n 分别代表积分节点和加权系数。 1 1 1 18 14 年，高斯设计了一个巧妙选择节点和加权系数的方法，它对每一个正整数n 来讲，如果积分函数是不超过 2n －1 阶的多项式的话，妙法给出的不是逼近值，而是 n 精确值。可以证明，在所有需要个节点的求积法中，这是最好的。我们现在把它称为 n 高斯- 勒让德公式。第二个名字是缘于雅可比证明过那些节点正是阶勒让德多项式 P x n( ) 的零点，而加权系数是 2 −1 −2 ω = 2(1−x ) [P (x )] . k k n k n 但是，妙法有一个缺陷，那就是当较大时，其节点和加权系数没有闭合表达式。对 n 这一点，高斯清楚得很。为了证明其可行性，他亲手算出了当＝7 时的节点和加权系数值，其精度达到