例谈方程思想求解不定积分.pdfVIP

13 第25卷 第 6期 凯里学院学报 VoI．25 NO．6 2007年12月 Journal of Kaili University Dee．2007 例谈方程思想求解不定积分 黄朝军，张盛虞 (凯里学院数学与计算机科学系，贵州 凯里 556000) [摘 要]通过举例说明求不定积分中的方程思想，以及如何利用方程思想求不定积分． [关键词]不定积分；方程思想；方程 [中图分类号]O172．2 [文献标识码]A [文章编号]1673—9329(2007)06—0013—02 在教学中经常发现学生在学习不定积分这部分内容， 的J．P(z)sinaxdx,J．P(z)c。s axdz(P(z)是关于z的多项 特别是求不定积分时会遇到困难，主要表现为学生的思路 式，a∈R，可用类似这样的方程思想去求解． 太狭窄，思维不活跃，往往一条路走下去，只是“一根筋”地 这也许就是“欲擒故纵”吧，这避免教材上讲的 ， 想问题．每一本数学分析教材都介绍求不定积分的3种方 的寻求． 法：第一换元法(凑微分法)、第二换元法和分部积分法．所 以学生往往就停留在每一种方法上的“就事论事”，因此遇 2 Ixedx型 (露∈ 。口∈R) 到稍微复杂一点的问题，学生就无从下手．实际上，我们要 例2 计算Iz e2xdx． 充分理解不定积分的本质，它完全是与微分紧密相联的，通 常说不定积分是微分的逆运算，这提示我们，当我们无法 实际上，建立等式(z e2x) 一3x e +2x e ，(z e2 ) “ 一 条道”走下去的时候，往往要想办法以退为进，避开问题 一 2xd +2x e ，(xe ) 一e2 +2xe ，从这3个式子中消 本身，去建立一些适当的方程，往往也只是线性方程组，通 去z e ，ze ，即可得到4x e =2(x e2x) 一3(x e2 ) + 过解方程组，问接地求出所需要的不定积分．下面就几种类 3(xe ) 一3e ，此式两边求不定积分。即得 型的不定积分谈谈方程思想求解． J．z3e2 dz= 1 z3c2』一T3 z2e2 +}ze 一号e2x+c． 1 Ix~sin似dx型 ( ∈ 。口∈R) 一 般地，IP(x)e~dx(P(x)是关于z的多项式，口∈R) 例1 计算Iz sin 4xdx． 可用类似这样的方程方法求解． 这个问题。学生往往也知道用分部积分法，但运用时也 3 Ie sin肛dx型 ( 。 ∈R) 遇到麻烦，实际上。如下操作，会简便得多． (z COS 4x) ≈ 3x。COS 4x一 4x sin 4x，(z sin 4x) =