9 8多元函数的极值及其求法ppt课件.PPTVIP

一、问题的提出 三、条件极值拉格朗日乘数法 四、小结 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、条件极值 拉格朗日乘数法 一、问题的提出 二、多元函数的极值和最值 四、小结 思考题 【实例】某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖x元，外地牌子的每瓶卖y元，则每天可卖出70?5x+4y瓶本地牌子的果汁，80+6x ?7y瓶外地牌子的果汁，问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？ 每天的收益为 求最大收益即为求二元函数的最大值. 进价：1元 售价：x元 进价：1.2元 售价：y 元 收益：x ?1元/瓶 收益：y ?1.2元/瓶 二、多元函数的极值和最值 1、【二元函数极值的定义】 【例1】 椭圆抛物面 (1) (2) 【例2】 【例3】 圆锥面 不是，因为在（0,0）的任意邻域内，z都有可能大于0，也有可能小于0. 2、【多元函数取得极值的条件】 ［可偏导函数取得极值的必要条件］ 【证】 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点. 驻点 可偏导函数极值点 【问题】如何判定一个驻点是否为极值点？ 【注意】 驻点 极值点 二元函数极值的判定定理 【解】 （此为隐函数的极值问题） （1）有界闭区域上的连续函数求最值的一般方法 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值. 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值. 3、【二元函数的最值】 分为 (1) 有界闭区域上的连续函数求最值 (2) 实际问题求最值 【解】 如图, 【解】 由 【补例6】 （2）实际问题求最值 实际问题中，若据问题的性质，知道最值一定在D的内部取得，而在D内只有一个驻点，则可断定该驻点处的函数值就是实际所求的最值 【教材例5】某厂要用铁板做成一个体积为 2 m3 的有盖长方体水箱。问长、宽、高各取怎样的尺寸，才能用料最省. 【解】 水箱用材料面积为 即 目标函数 即在定义域内有唯一驻点 ［实例］小王有200 元钱，他决定用来购买两种急需的物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买x张磁盘， y盒录音磁带达到最佳效果，效果函数 ，每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果． ［问题的实质］求 在条件 下的极值． (1)【无条件极值】对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件。 1、【无条件极值与条件极值】 y盒录音磁带 单价：10元 x张磁盘 单价：8元 (2)【条件极值】对自变量有附加条件的极值。 ［条件极值的求法］ 法Ⅰ:化为无条件极值 法Ⅱ:拉格朗日乘数法 对三元以上的函数特别有用 2、【拉格朗日乘数法】 拉格朗日乘子（乘数） 【总结—拉格朗日乘数法】 称为拉格朗日函数 ⑵乘数法的推广（条件与自变量均多于两个的情况） 【解】 则 【解】 (转化为求u的最大值) 可得 即 多元函数的极值 拉格朗日乘数法—条件极值 （取得极值的必要条件、充分条件） 多元函数的最值 ［条件极值的求法］ 法Ⅰ:化为无条件极值 法Ⅱ:拉格朗日乘数法