9 7方向导数与梯度ppt课件.PPTVIP

一、问题的提出 二、方向导数的定义 三、梯度的概念 四、小结 等值线的画法 等值线的画法 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、梯度的概念 一、问题的提出 二、方向导数的定义 四、小结 思考题 【回顾】 一元函数 函数值在点x0处沿x轴方向增大. 二元函数 函数值在点P(x0 , y0)处沿x轴方向增大 函数值在点P(x0 , y0)处沿x轴方向减小. 函数值在点x0处沿x轴方向减小. 函数值在点P(x0 , y0)处沿y轴方向增大 函数值在点P(x0 , y0)处沿y轴方向减小 二元函数 【问题】 二元函数 在点P(x0 , y0)处沿其它射线方向的变化率如何？ 讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题． （如图） —— l 的参数方程 记为 1.【定义】 (2) 【说明】 (1)对方向导数,以下两种定义方式等价 （自己推导） 综上①②可知：若某点偏导数存在，能保证该点沿x、y 轴的四个射线方向的方向导数分别存在.其它方向的方向导数是否存在不能保证. 【反例】 2. 【方向导数的存在及计算】 方向导数何时存在、以及与偏导数有何关系，有如下定理 【证明】 由假设 则 (2)【推广可得三元函数方向导数的定义】 或 同理当函数在该点可微时，函数在该点沿任 意方向 的方向导数都 存在且有： 【解】 【练习】求 在点 沿方向 的方向导数，其中 的方向角分别为 【补例 2】教材习题9-7 P108 第3题 【思考】取正号可否? 【解】 【解】 令 故 方向余弦为 故 【问题】 ［实例］一块长方形的金属板，四个顶点的坐标分别是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)． 在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ 【问题的实质】应沿由热变冷变化最骤烈的方向 （即梯度方向）爬行． 【注】梯度是定义域所在空间（坐标系）内 的一个向量. 其中 【结论】 函数在某点的梯度是个向量，它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模等于方向导数的最大值 梯度的模为 曲面被平面 所截得 所得曲线在xoy面上投影如图 等值线 梯度为等值线上的法向量 2. 【梯度的几何意义】 在几何上 表示一个曲面 事实上，若 不同时为零，则等值线 可视为 则法向量为 与梯度 方向相同 等值线的画法 播放 【例如】 【梯度与等值线的关系】 （即梯度的几何意义） 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向的方向导数取得最大值，其模为方向导数的最大值. 梯度的概念可以推广到三元函数 【解】 由梯度计算公式得 故 【注】课本P106例3、例4自阅 【练习题】 【解】 1、方向导数的概念 2、梯度的概念 3、方向导数与梯度的关系 （注意方向导数与一般所说偏导数的区别） （注意梯度是一个向量） 即该点方向导数取最大值的方向. 【思考题】 【思考题解答】 等值线的画法