第二讲 高二数学抛物线几何性质精编(含答案).docVIP

第二讲 抛物线的几何性质 一【基础知识讲解】 1、知识框图 图形 标准方程 定义 与一定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点不在定直线上) 顶点 离心率 对称轴 轴 轴 范围 焦点 准线方程 焦半径 通径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径： 焦点弦长 公式 参数的几何意义 参数表示焦点到准线的距离，越大，开口越阔 过焦点的弦长|AB| |AB|?|x1?x2|?p |AB|?|y1?y2|?p 当AB与x轴垂直时，|AB|?2p 若直线AB倾斜角为?，则|AB|。 2.关于抛物线焦点弦的几个结论： ①.若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，则： ，。x1?x2+y1?y2=(即) 证明：因为焦点坐标为F(,0),当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为： ，由得: ∴，。 当AB⊥x轴时，直线AB方程为，则，，∴ 同上也有：。 例：已知直线AB是过抛物线焦点F，求证：为定值。 证明：设，，由抛物线的定义知：，，又+=，所以+=-p，且由结论一知：。 则： = 练习：过抛物线的焦点作一直线交抛物线于两点，若线段与的长分别是，则= 　　 　化为标准方程，得，从而．取特殊情况，过焦点的弦垂直于对称轴，则为通径，即，从而，故 ②.（1）若AB是抛物线的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α， 则（α≠0）。 （2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短，即|AB|=2p。 证明：（1）设，，设直线AB: 由得:, ∴，， 。 易验证，结论对斜率不存在时也成立。 （2）由（1）：AB为通径时，，的值最大，最小，即|AB|=2p。 例：已知过抛物线的焦点的弦AB长为12，则直线AB倾斜角为 。 解：由结论二，12=（其中α为直线AB的倾斜角）， 则，所以直线AB倾斜角为或。 ③.两个相切： （1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。 （2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦 点弦相切。 （3）焦点对在准线上射影的张角为 （4）设抛物线的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1，则以A1B1为直 径的圆必过焦点F （5）一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线x+=0相切，则 此动圆必过焦点F 例：已知AB是抛物线的过焦点F的弦， 求证：（1）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。 (2)分别过A、B做准线的垂线，垂足为M、N，求证：以MN为直径的圆与 直线AB相切。BA B A M N Q P y x O F 证明：(1)设AB的中点为Q,过A、Q、B向准线l作垂线， 垂足分别为M、P、N，连结AP、BP。 由抛物线定义：，， ∴， ∴以AB为直径为圆与准线l相切 OAM O A M N P y x F ∵，AM∥OF，∴∠AMF=∠AFM，∠AMF=∠MFO， ∴∠AFM=∠MFO。同理，∠BFN=∠NFO， ∴∠MFN=（∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO）=90°， B∴， B ∴∠PFM=∠FMP ∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°，∴FP⊥AB ∴以MN为直径为圆与焦点弦AB相切。 ④.若抛物线方程为，过（，0）的直线与之交于A、B两点，则OA ⊥OB。反之也成立。 ⑤. 的参数方程为（为参数） 的参数方程为（为参数） 对于抛物线，其参数方程为设抛物线上动点 坐标为，为抛物线的顶点，显然，即的几何意义为过抛物线顶点的动弦的斜率． 例　直线与抛物线相交于原点和点，为抛物线上一点，和垂直，且线段长为，求的值． 解析：设点分别为，则，． 的坐标分别为．．． 二【例题讲解】 ★★★模块1：抛物线的几何性质基础过关 设点A为抛物线y2＝4x上一点，点B(1,0)，且|AB|＝1，则A的横坐标的值为(　B ) A．－2　　　　　B．0 C．－2或0 D．－2或2 以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　C　) y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y 过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，那么|AB|等于(　　) A．10 B．8 C．6 D．4 因线段AB过焦点F，则|AB|＝|AF|＋|BF|.又由抛物线的定义知|AF|＝x1＋1， |BF|＝x2＋1，故|AB|＝x1＋x2＋2＝8. 选B. 4.以抛物线y2＝2px(p＞0)的焦半径为直径的