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2009-2010高数Ⅱ2试卷(54学时)A卷
院、系领导
审批并签名 A卷
广州大学2009--2010学年第二学期考试卷
高等数学Ⅱ2(A卷)(54学时)参考答案与评分标准
题次 一 二 三 四 五 六 七 总分 评卷人 分数 15 15 18 18 18 8 8 评分
一. 填空题(本题15分,每小题3分)
1. 设,则
2.
3.已知,则
4.若级数收敛,则
5.微分方程的通解为
二. 单项选择题(本题15分,每小题3分)
1.函数在点处偏导数存在是它在该点连续的【 D 】
(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件
(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件
2.由曲线,直线和所围成的平面图形的面积为【 B 】
(A) (B)
(C) (D)
3. 设为连续函数,改换二次积分次序【 D 】
(A) (B)
(C) (D)
4.设级数,则【 B 】
(A)当时,级数绝对收敛
(B)当时,级数条件收敛
(C)当时,级数绝对收敛
(D)当时,级数条件收敛
5.微分方程待定的特解为【 C 】
(A) (B)
(C) (D)
三.解答下列各题(本题18分,每小题6分)
1.设函数具有一阶连续偏导数,,求和
解:设 则
┅┅┅┅┅ 3分
┅┅┅ 6分
2.设函数由方程所确定,求
解:令
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分
┅┅┅┅ 6分
3.求微分方程的通解
解:该方程为一阶线性微分方程
由常数变易公式,所求通解为
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分
四.解答下列积分(本题18分,每小题6分)
1.计算
解:令 则
时 时
原式 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分
2.计算,其中由与所围成的闭区域
解:
原式 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分
3.设为连续函数,化为极坐标形式的
二次积分
解:记
在极坐标下, 区域
原式 ┅┅┅ 2分
┅┅┅┅┅┅┅ 6分
五. 解答下列级数(本题18分,每小题6分)
1.判断级数的敛散性
解: ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分
所以原级数收敛 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分
2.求幂级数的收敛半径和收敛域
解:
收敛半径 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分
当时,级数收敛 当时,级数发散
收敛域为 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分
3.在区间内,求幂级数的和函数
解:记
┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分
求导得 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分
六.(本题8分)求函数的极值
解:由 得驻点, ┅┅┅┅ 2分
┅┅┅┅┅ 4分
在点处,
故函数在点处不取极值 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分
在点处,,又
故函数在点处取极小值 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分
七.(本题8分)当陨石穿过大气层向地面高速坠落时,陨石表面与空气磨
擦所产生的高热使陨石燃烧并不断挥发。试验表明,陨石体积减少的速
率与陨石的表面积成正比。现有一陨石是质量均匀的球体,且在坠落过
程中始终保持球体形状,若它在进入大气层开始燃烧的前3秒内,其体
积减少了,问此陨石完全燃烧尽需要多长时间?
(注:球的体积,球的表面积)
解:设秒时,陨石的半径为,记陨石开始燃烧时半径
由 得
根据题意 为常数 ┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分
于是 即
得 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分
由得
得时,陨石体积为
由题设得 得
令,得,陨石完全燃烧尽需要秒 ┅┅┅┅┅┅ 8分
第 6 页 共 6 页 高等数学Ⅱ2(54学时)试卷(A卷)答案与评分标准
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