2009-2010高数Ⅱ2试卷(54学时)A卷.doc

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2009-2010高数Ⅱ2试卷(54学时)A卷

院、系领导 审批并签名 A卷 广州大学2009--2010学年第二学期考试卷 高等数学Ⅱ2(A卷)(54学时)参考答案与评分标准 题次 一 二 三 四 五 六 七 总分 评卷人 分数 15 15 18 18 18 8 8 评分 一. 填空题(本题15分,每小题3分) 1. 设,则 2. 3.已知,则 4.若级数收敛,则 5.微分方程的通解为 二. 单项选择题(本题15分,每小题3分) 1.函数在点处偏导数存在是它在该点连续的【 D 】 (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 2.由曲线,直线和所围成的平面图形的面积为【 B 】 (A) (B) (C) (D) 3. 设为连续函数,改换二次积分次序【 D 】 (A) (B) (C) (D) 4.设级数,则【 B 】 (A)当时,级数绝对收敛 (B)当时,级数条件收敛 (C)当时,级数绝对收敛 (D)当时,级数条件收敛 5.微分方程待定的特解为【 C 】 (A) (B) (C) (D) 三.解答下列各题(本题18分,每小题6分) 1.设函数具有一阶连续偏导数,,求和 解:设 则 ┅┅┅┅┅ 3分 ┅┅┅ 6分 2.设函数由方程所确定,求 解:令 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 ┅┅┅┅ 6分 3.求微分方程的通解 解:该方程为一阶线性微分方程 由常数变易公式,所求通解为 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 四.解答下列积分(本题18分,每小题6分) 1.计算 解:令 则 时 时 原式 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 2.计算,其中由与所围成的闭区域 解: 原式 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 3.设为连续函数,化为极坐标形式的 二次积分 解:记 在极坐标下, 区域 原式 ┅┅┅ 2分 ┅┅┅┅┅┅┅ 6分 五. 解答下列级数(本题18分,每小题6分) 1.判断级数的敛散性 解: ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分 所以原级数收敛 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 2.求幂级数的收敛半径和收敛域 解: 收敛半径 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 当时,级数收敛 当时,级数发散 收敛域为 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 3.在区间内,求幂级数的和函数 解:记 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分 求导得 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 六.(本题8分)求函数的极值 解:由 得驻点, ┅┅┅┅ 2分 ┅┅┅┅┅ 4分 在点处, 故函数在点处不取极值 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 在点处,,又 故函数在点处取极小值 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分 七.(本题8分)当陨石穿过大气层向地面高速坠落时,陨石表面与空气磨 擦所产生的高热使陨石燃烧并不断挥发。试验表明,陨石体积减少的速 率与陨石的表面积成正比。现有一陨石是质量均匀的球体,且在坠落过 程中始终保持球体形状,若它在进入大气层开始燃烧的前3秒内,其体 积减少了,问此陨石完全燃烧尽需要多长时间? (注:球的体积,球的表面积) 解:设秒时,陨石的半径为,记陨石开始燃烧时半径 由 得 根据题意 为常数 ┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 于是 即 得 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分 由得 得时,陨石体积为 由题设得 得 令,得,陨石完全燃烧尽需要秒 ┅┅┅┅┅┅ 8分 第 6 页 共 6 页 高等数学Ⅱ2(54学时)试卷(A卷)答案与评分标准

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