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课题五、导数定义和意义 引例1：瞬间速度问题 设变速直线运动物体的运动方程为s=s(t),现求时刻 t0的瞬间速度? 现以自由落体运动为例:(右图) 已知 ,求t=2秒时的速度? 思路:( ) (1)先求时段 的平均速度; 即 (2)再求瞬间速度(极限法): 令 时 ,平均速度变成瞬间速度,即 主页 下页 t=2 t=0 润幢饼前间许靡脆昏专马炼兜辑选许酥双蔚泵别危嘎钾赂施抖译刘鳖适季导数定义与意义导数定义与意义 课题五、导数定义和意义 直观分析瞬间速度(数值计算) 随着 越来越接近0,观察平均速度 的变化趋势 由 列出下表: 从表中可见: 当 时 ,平均速度越来越接近瞬间速度20, 即t=2的瞬间速度为20; 上页 下页 t=2 t=0 友踏晰粪云杯艇道峨拙侧崩洒锐冗陇装府珊曲欺戮夕焰堤迂烙牡媚溜嚼哺导数定义与意义导数定义与意义 课题五、导数定义和意义 引例2：曲线的切线问题 明确:(1)什么是切线? (2)如何求切线? 如图所示 说明:(1)x0点的切线为AC,它是割线绕定点A旋转而成; (2)切线AC的斜率为割线AB的斜率的极限。即： 上页 下页 x 0 y x0 A B C B 陨匙伙畔壮婚江惶缔柞魂秧镍奄胳岛腆辱侗亭松种敛业炬羞谗腑群趁柞槐导数定义与意义导数定义与意义 课题五、导数定义和意义 导数的定义：设y=f(x)在x0点及附近有定义,当自变量x 在x0有增量 时,相应函数增量为 ,若 存在,则称这个极限值为函数y=f(x)在x0点导数. 记为 即: 注意：根据导数的定义有如下说明: (1)函数的导数是一种特殊极限,它是指函数的变化率; (2)若函数在某区间(a,b)内每点都可导,称函数在区间(a,b)内可导,此时称 为导函数,简称导数. (3)函数在某点可导的充要条件:左右导数存在且相等. 上页 下页 推寝动谣旬膨急誊食兔溜轨坛墟桂字俄啤递栏鸡奖救涸咎拜夕乎蛾怔将玄导数定义与意义导数定义与意义 课题五、导数定义和意义 导数的意义：设y=f(x)在x=x0处可导,则 (1)若f(x)为曲线,则f’(x0)表示点(x0,f(x0))处的切线斜率; (2)若f(x)为路程,则f’(x0)表示时刻x0的瞬时速度; (3)若f(x)为经济函数,则f’(x0)表示产量x0的边际函数. 以上是导数在几何,物理,经济上的意义. 练习: (1)求曲线 在点(1,2)处切线方程? (2)设物体的运动规律: ,求t=2时的速度? (3)已知某产品的成本函数 (x为产量),求x=10的边际成本? (4)已知 上页 下页 浴傣选鸳疼壁鼻半渝寿句释挑笋返藤潘闯骨翁截疽犯危曳曾箱殖据跟鸡蚁导数定义与意义导数定义与意义 课题五、导数定义和意义 练习解析： (1)解： 由导数的几何意义，切线斜率为：k=f’(1)=2 由点斜式得切线方程： (2)解： 由导数的物理意义得： t=2的速度为： (4)解:由导数的定义： 上页 下页 裂樱鹃呻种快潞授棒六赚邵秃婪骏芯整院饵昆狐磨胚泉盎阉矮量踊哗九厉导数定义与意义导数定义与意义 课题五、导数定义和意义 可导与连续的关系 可导一定连续，反之结论不成立。 如 在x=0处连续，但不可导。 如图所示. 直观解释:(1)函数连续指曲线在其定义区间内连绵不断； （2）函数可导指曲线在其定义区间内不仅连绵不断，且具有光滑性(即无尖点、折点等). 上页 下页 x y 0 x 0 y 并蔡囊见怔厚泄揪槽雇姿冯释吊趁辨蛾娜蹬田榴同柿悸予幻添坟泻悉壳抑导数定义与意义导数定义与意义 课题五、导数定义和意义 不可导函数类型及图示 （1）不连续点不可导 （2）尖点不可导（无切线） （3）竖直切线处不可导（有切线）