欧拉-拉格朗日方程.docVIP

欧拉-拉格朗日方程(The Euler-Lagrange equation) 在理想情形下，一函数的最大值及最小值会出现在其导数为０的地方。同样地，求解变分问题时也可以先求解相关的欧拉-拉格朗日方程。以下以寻找连接平面上两点(x1,y1) and (x2,y2)最短曲线的例子，说明求解的过程。曲线的长度为 其中 f(x1) = y1, f(x2) = y2. 函数f 至少需为一阶可微的函数。若 f0 是一个局部最小值，而 f1 是一个在端点 x1 及 x2 取值为零并且至少有一阶导数的函数，则可得到以下的式子 其中 ε 为任意接近 0 的数字。 因此 A[f0 + εf1] 对 ε 的导数( A 的一阶导数 ) 在 ε=0 时必为 0。对任何的函数 f1，下式均成立： 此条件可视为在可微分函数的空间中，A[f0] 在各方向的导数均为 0。 若假设 f0 二阶可微(或至少弱微分存在)，则利用分部积分法可得 其中 f1 为在两端点皆为 0 的任意二阶可微函数。这是变分法基本引理的一个特例: 其中 f1 为在两端点皆为 0 的任意可微函数。 若存在 使 H(x) 0，则在 周围有一区间的 H 也是正值。可以选择 f1 在此区间外为 0，在此区间内为非负值，因此 I 0，和前提不合。 若存在 使 H(x) 0，也可证得类似的结果。因此可得到以下的结论： 由结论可推得下式： 因此两点间最短曲线为一直线。 在一般情形下，则需考虑以下的计算式 其中 f 需有二阶连续的导函数。在这种情形下，拉格朗日量L在极值 f0 处满足欧拉-拉格朗日方程 不过在此处，欧拉-拉格朗日方程只是有极值的必要条件，并不是充分条件。