等值粘性阻尼.pptVIP

* 上次内容回顾：隔振、 振动测量仪器 讲述的内容 第三章 强迫振动 3.6 等效粘性阻尼 3.7系统对周期激励的响应·傅里叶级数 3．6 等效粘性阻尼 当系统中存在非粘性阻尼时，一般将使振动系统成为非线性系统，微分方程求解就比较困难。此时通常用一个等效粘性阻尼系数ceq来近似计算。 对于非粘性阻尼，工程中通常采用等效粘性阻尼的方法。在强迫振动中，根据公式，粘性阻尼每个周期耗散的能量为πcX2ω对于非粘性阻尼，先求出它每个周期耗散的能量E，然后将E表示为 得 式中ceq称为等效粘性阻尼系数。下面分别举例说明。 (1)干摩擦阻尼 干摩擦力通常假定与法向压力成正比，一般其大小与相对运动的速度无关，在整个强迫振动过程中保持为常力F，但方向始终与运动方向相反。在强迫振动中每周期耗散能量为 可见干摩擦的等效粘性阻尼系数ceq不仅与摩擦力成正比，还与系统的振幅X和频率ω成反比。 得 (2)速度平方阻尼 当物体在流体介质中高速运动时，所遇到的阻力通常表示为与速度平方成正比，即 式中α为常数，正号对应于 O，负号对应于 0。 由于x=Xsin(ωt-φ)， =Xωcos(ωt-φ)，因而每周期所耗散的能量为 得 所以速度平方等效阻尼是与系统的振幅X和频率ω成正比的。 (3)结构阻尼 通常认为由于材料本身内摩擦造成的阻尼，称为结构阻尼。当对一种材料加载超过弹性极限，然后卸载，并继续往反方向加载，再卸载。一个循环过程中，应力应变曲线会形成一个滞后回线，如图所示。滞后回线所包的阴影面积表示材料在一个循环中单位体积释放的能量。这部分能量将变成热能散失掉。结构材料实际上不是完全弹性的，在振动过程中也就是处在加载卸载过程中，每一个振动周期形成一次滞后回线。结构阻尼即由此产生。实验指出，内摩擦所引起的阻尼与速度无关，对于大多数金属(如钢和铝)，结构阻尼在很大一个频率范围内与频率ω无关，而在一个周期内所消耗的能量与振幅平方成正比。即 式中α为常数。得 所以结构阻尼的等效阻尼系数是与系统频率ω成反比的。 有了等效粘性阻尼系数ceq，非粘性阻尼强迫振动的微分方程可以表示为 其特解的振幅为 事实上，对于简谐激励作用的振动系统，通常都假定振动系统的稳态响应也是简谐的，但对于有非粘性阻尼的振动系统，这个假定不再正确。而在实际问题中，较小的阻尼不致过分影响强迫振动的波形，上述计算方法可以得出有用的结果。 3．7系统对周期激励的响应·傅里叶级数 前面已经讨论了振动系统受简谐激励的响应，但在实际问题中，许多情况下系统是受一种非简谐的周期激励作用，然而只要满足某些条件，任何周期函数都可以用简谐的收敛级数来表示。这种由简谐函数组成的级数称为傅里叶(Fourier)级数，对应级数就是简谐激励作用的响应问题，利用叠加原理，周期激励的响应则等于各简谐分量引起响应的总和。 周期激励函数满足 式中T为周期。将F(t)展开为傅里叶级数 式中频率ω=2π／T为函数F(t)的基频，基频的整数倍如称为谐频，其基本频率作为第一谐频。上式表明一个复杂的周期激励函数可以表示为一系列谐频的许多简谐函数的叠加。 傅里叶级数的系数a0，aj与bj可由下式确定 它们分别表示函数F(t)中简谐分量cosjωt和sinjωt所参与的程度，注意到a0/2代表F(t)的平均值。只要定义的aj和bj的积分存在，用傅里叶级数表示函数F(t)总是可能的。如果F(t)不能以函数表示，可以近似模拟计算。 单自由度有阻尼的质量一弹簧系统在周期激励F(t)作用下的微分方程为 对应于每一激励分量的运动微分方程为 方程的稳态响应为 式中 由叠加原理得周期激励的稳态响应为 例3.7—1无阻尼单自由度系统受如图所示的周期方波激励。试求系统的稳态响应。 解：周期方波激励的数学描述为 式中T为周期。将F(t)展开为傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为 则周期方波表示的傅里叶级数为 对于任一项激励的响应为 式中 为第j项对应的频率比，那么响应由叠加原理得 例3·7—2 图所示凸轮使顶杆D沿水平线进行周期锯齿波形运动，通过弹簧k1使振动系统有强迫振动。已知凸轮升程为2cm，转速为60 r／min，k1=k=lO N／cm，c=0.5 Ns／cm，m=1／20 kg。试求振动系统的稳态振动。 解：顶杆D的运动方程为 激振频率为1Hz,即T=1s，ω=2πs-1。将激励x1展开成傅里叶级数为 其中 得x1的傅里叶级数为 振动系统的运动微分方程为 或 令 则对应于激励的第j次谐频 ，振动系统的稳态运动为 对应于级数中常数项k1，振动系统的响应为 因此，在凸轮运动的作用下，振动系统的稳态运动为 *