复变函数课件第章对数留数与辐角原理.pptVIP

第四节 对数留数与辐角原理 一、对数留数 二、辐角原理 三、路西定理 四、小结与思考 一、对数留数 1. 定义 具有下列形式的积分: 说明: 1) 对数留数即函数 f(z)的对数的导数 在C内孤立奇点处的留数的代数和; 2) 函数 f(z)的零点和奇点都可能是 的奇点. * 2. 定理一 内零点的总个数, P为 f(z)在C内极点的总个数. 其中, N为 f(z)在C 且C取正向. 注意: m级的零点或极点算作m个零点或极点. * 证 * * [证毕] 由以上所述和留数定理，得 * 二、辐角原理 . 不一定为简单闭曲线, 其可按正向或负向绕原 点若干圈. 1. 对数留数的几何意义 * 单值函数 等于零 * 结论: (k总为整数) 对数留数的几何意义是 绕原点的回转次数k * 由定理一及对数留数的几何意义得 可计算f(z)在C内零点的个数 此结果称为辐角原理 * 2．定理二 (辐角原理) 如果 f(z)在简单闭曲线C上与C内解析, 且在 C上不等于零, 那么 f(z)在C内零点的个数等于 乘以当z沿C的正向绕行一周 f(z)的辐角的改变量. * 三、路西定理 定理三(路西定理) 说明: 利用此定理可对两个函数的零点个数进行比较 . * 证 在C内部解析 * * [证毕] * 例1 试证方程 证 * 在圆内的零点数为n 在圆内的零点数也为n * 例2 对数留数. 解 所以这些零点是二级零点, 从而是 f(z) 的二级极点. *