域的特征和多项式的整除性.pptVIP

第七章 多项式 有限域 §7.1 域的特征 素域 1、 若有壹交换无零因子环的任意理想是 主理想，则称主理想环。 试证整数环I是主理想环。 （主理想是理想，但理想未必是主理想。 例如：所有两个文字的多项式，按多项式加乘是环，所有常数项为0多项式是理想。但不是主理想，所有各项中均有文字x的多项式是主理想Xf[X，Y]） 证：须证I的任意理想N是主理想， 若N={0}显然 现设N中不只有一个元素，则在N中必有一个绝对值最小的非零元素，设为a，显然a生成的理想 （a）=aI?N。 另一方面，任取b?N，若b=aq+r,0≤r??a? 因b，aq?N，所以r=b-aq?N，但a绝对值最小，只能r=0，这样b=aq?aI,所以N?aI,于是N=aI，是主理想，证毕 2、设有整数环I，任意域F， 则?（n）=ne,是I到F内同态映射，其中e是F中乘法单位元,因为 ?（m+n）=（m+n）e=me+ne=?（m）+?（n） ?（mn）=mne=(me)(ne)=?（m）·?（n） 所以?是同态映射。 3、域的特征 考查映射I~F内，有核N是I的一个理想，又已知整数环I是主理想环,所以核N是主理想，设这理想由整数P生成，于是N=（P）=PI，数P只与域F 有关，称为域的特征。 4、? 若P=0则ne=0?n=0 证：（?）P=0核N={0}, 因为ne=0则?（n）=0 所以n?N， 即n=0 （?）显然 这表明此时e在加法群中周期是0（或?） 5、? 若P0则ne=0 ?p|n 证：（?）若ne=0，即?（n）=0， 于是n?N=PI，因为PI中任意元是P的倍数，故p|n。 （?）若p|n，则n?N， 所以，?（n）=ne=0 这表明此时e在加群的周期是P。 6、域F中任意非零元在加群中周期也是P 见性质6.6.13。 例：{ }之特征为5 。 因为 7、（定理7.1.1） 任意域F的特征P是零或一质数。 证：若P?0， 往证P是质数。 若不然P=hk， 1hp ，1kp 则 (he)(ke)=(hk)e=pe=0 因域中无零因子，则（he），（ke）必有一为零，但P为周期，而kp，hp， 矛盾 8、以上研究的是域的特征，但显然上述结果对无零因子环即可成立，一般来讲对无零因子环也可定义特征的概念。 9、子域：域F的子集按F加乘也为域，称F的子域。当域F特征为质数P时，域F中含最小子域同构于I/PI。 证：看2中规定的I~F内的同态映射， 核为PI，记同态象为I’， 则I’=?（I）={ne|n?I,e是F乘法单位元}, 根据环同态基本定理（定理6.7.5）， 因I~I’，得I’?I/PI，容易证明I/PI是域， 所以I’也为域，所以，I’是F的子域。 又因F的任意子域要含e，因此必含有e的所有倍数，即含有I’ 所以I’是域F的最小子域 10、域上同态，或为同构，或所有元素对应0。 事实上体即如此（见P233 1） 11、?任意域F中ab=ba，所以b-1a=ab-1 即用a左乘，右乘一样。 所以：可定义为“分数”的形式（b?0）我们已验证如此“分数”运算法则与普通分数一样（p227 习题4） 12、当域F特征为0时，域F中含有的最小子域同构于有理数域R0。 证：现在要把已定义的同态扩大到R0到F内。办法是规定?(m/n)=(me)/(ne) (1)先说明规定的合理性。 设h/k=m/n，则hn=km， 所以(he)(ne)=(ke)(me)， 故(he)/(ke)=(me)/(ne)， 可见规定与有理数表示无关，即规定合理。 (2)证同态性。 ?(m/n+h/k)=?((km+hn)/nk) =((km+hn)e)/((nk)e) =((km)e+(hn)e)/((nk)e) =((me)(ke)+(he)(ne))/((ne)(ke)) =(me)/(ne)+(he)/(ke) =?(m/n)+?(h/k) ?((m/n)(h/k))=?((mh)/(nk)) =((mh)e)/((nk)e) =((m