第二篇 定积分 小结tex.pdfVIP

不定积分小结 华南师范大学数学科学学院数学勷勤创新班20110008012 张树邦 2013 年2 月7 日 目录 1 可积理论 1 2 定积分的计算 3 3 定积分的估值 5 本文参考资料 9 1 可积理论 1 《数学分析2》中的59 页到60 页有很好的小结. 书上有的, 这里就不 重复了. 先说说本章的逻辑关系. 本章从不定积分的定义出发, 建立了三个相对 独立的板块: 可积理论, 定积分的计算和定积分的估值. 下面我来一一小结. 1 可积理论 先来分析定积分的定义. 函数 f (x) 是定义在闭区间 [a, b] 上的函数. 若存在 J , 对于任意的 ε 0, 存在 δ (ε) 0, 对 [a, b] 上的任意一个满足 ∥T ∥ δ(ε) 的分割 T = {x , x , . . . , x }, 任意 {ξ ∈ [x , x ] |i = 1, 2, . . . , n} 使得 n i i− i n ∑ f (ξ )∆x − J ε i i i 则称J 是函数f (x) 在区间 [a, b] 上的Riemann 积分, 记 J = ∫ b f (x)dx. 并 a 称 f (x) 在区间 [a, b] 上Riemann 可积. 单单看定义, 我们真的很难找到定积分与之前的不定积分有何联系. 最 起码的区别, 不定积分是一个函数集, 而定积分是一个定值. 这个定值只是 与f (x) 和闭区间 [a, b] 有关, 与ε,δ,T ,{ξ } 这四个出现在定义中的量均无关 i 系, 只是Riemann 和 ∑n f (ξ )∆x 在 ∥T ∥ 趋于0 时,∑n f (ξ )∆x 会趋 i i i i i i 于 J . 故 J = ∫ b f (x)dx 有时会简记为 J = ∫ b f . a a 若从定义出发求定积分, 保留“三个任意, 两个存在”, 不难判断出无界 函数和Dirichlet 函数都是不可积的. 但是对于一些看似十分简单的函数的 定积分, 如函数 y = x 在 [0, 1] 上的定积分, 无论是判断可积还是求其定积 分, 都是十分困难的. 我们要先“预测”定积分的值, 这个值一定要做到“0 误差”,