散度与旋度.PDFVIP

§8 散度與旋度 單元 7 談到方向導數可以描述一個純量函數，或說純量場(只有大小無方向)的變化程度， 而梯度在求方向導數時所依據的代表方向的那個向量上的分量便是方向導數，所以可以說，梯 度可以用來描述純量場的變化程度。那麼，一個向量場的變化，該如何描述？因為向量場是以 向量函數來表示，所以要看向量場的變化程度，除了大小的變化程度之外，還有方向的變化程 度，前者稱為散度（divergence ）；後者稱為旋度（curl）。 定義 8-1 純量場 f f f ∂ ∂ ∂ divF 1 2 3 =+ + ∂x ∂y ∂z 稱為向量場 F(x, y ,z ) f (x , y ,z )i =+f (x , y ,z )j +f (x , y ,z )k 的散度； 1 2 3 純量場 g g ∂ ∂ divG 1 =+ 2 ∂x ∂y 稱為向量場 G(x, y ) g (x , y )i =+g (x , y )j 的散度。 1 2 以三變數的向量場而言，散度亦可表為向量微分運算子與其本身的內積，即 divF ∇ F 。 i 定義 8-2 向量場 ⎛∂f 3 ∂f 2 ⎞ ⎛∂f 1 ∂f 3 ⎞ ⎛∂f 2 ∂f 1 ⎞ curlF ⎜ =− ⎟i + − j +⎜ − k ⎜ ⎟ ⎟ ⎝∂y ∂z ⎠ ⎝∂z ∂x ⎠ ⎝∂x ∂y ⎠ 稱為向量場 F(x, y ,z ) f (x , y ,z )i =+f (x , y ,z )j +f (x , y ,z )k 的旋度； 1 2 3 向量場 ⎛∂g ∂g ⎞ curlG ⎜ 2 =− 1 ⎟k x y ⎝ ∂ ∂ ⎠ 稱為向量場 G(x, y ) g (x , y )i =+g (x , y )j 的散度。 1 2 旋度的計算更須倚賴向量微分運算子，因為如果與外積運算結合，並以行列式來表示，有 助於記憶。三變數的向量場 F(x, y ,z ) 的旋度恰為 - 26 - i j k ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂