8数列中恒成立问题的研究(续).docVIP

专题：数列中恒成立问题的研究 一、问题提出 问题1：已知等差数列的首项为，公差为，若对恒成立，则实数的取值范围是 ，所以，所以对恒成立， 首项不为零的等差数列项和为，若不等式对任意正整数都成立，则实数的最大值为______. 解析：a1＝0时，不等式恒成立，当a1≠0时，λ≤＋，将an＝a1＋(n－1)d， Sn＝na1＋代入上式，并化简得：λ≤2＋∴λ≤，∴λmax＝.λ≥0，设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足：a1 = 1， （）． （1）若λ = 0，求数列{an}的通项公式； （2）若对一切恒成立，求实数λ的取值范围． 解：（1）λ = 0时，． ∴． ……………… 2分 ∵，∴． ∴．∵，∴． ……………… 4分 （2）∵，， ∴． ……………… 5分 则，，…，（n≥2）． 相加，得． 则（n≥2）． 上式对n = 1也成立， ∴（）．③ ……………… 7分 ∴（）．④ ④ ( ③，得． 即． ……………… 9分 ∵λ≥0，∴ 0， 0． ∵对一切恒成立， ∴对一切恒成立． 即对一切恒成立． ……………… 12分 记，则． 当n = 1时，； 当n≥2时，； ∴是一切中的最大项． ……………… 15分 综上所述，λ的取值范围是． ……………… 16分 探究3：：数列满足： （1）求数列的通项公式； （2）当时，是否存在互不相同的正整数，使得成等比数列？若存在，给出满足的条件；若不存在，说明理由； （3）设为数列的前n项和．若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围． 【解】（1） 当时，由 ① 得 ② ①- ②得，所以（） 因为，所以（） （2）当时， 若存在成等比数列，则 由奇偶性知 所以，即，这与矛盾． 故不存在互不相同的正整数，使得成等比数列 （3） 三、真题链接 四、反思提升 五、反馈检测 1. 设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足a＝4Sn＋4n＋1，n∈N*，a2，a5，a14构成等比数列．满足对于任意正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值． （1）求数列{an}的通项公式；时，求数列的前2m项的和； （3）是否存在实数，使得，若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由． 解 当n2时，4Sn－1＝a－4(n－1)－1，∴4an＝4Sn－4Sn－1＝a－a－4， 即a＝a＋4an＋4＝(an＋2)2， 又an0，∴an＋1＝an＋2，∴当n≥2时，{an}是公差为2的等差数列． 又a2，a5，a14成等比数列．∴a＝a2·a14，即(a2＋6)2＝a2·(a2＋24)，解得a2＝3． 由(1)知a1＝1．又a2－a1＝3－1＝2，∴数列{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列．∴an＝2n－1． 由得，对于正整数，由，得 根据的定义可知 当时，；当时，． ∴ ． （3）不存在，理由如下： 证法1：假设存在满足条件，由不等式及得∵,根据的定义可知，对于任意的正整数m 都有 ，即对任意的正整数m都成立当（或）时，得（或），这与上述结论矛盾 当，即时，得，解得． ∴ 不存在，使得 证法2：用“分离变量求最值”来做的，假设存在满足条件，由不等式及得∵,根据的定义可知，对于任意的正整数m 都有 得对任意正整数都成立， 所以，所以，矛盾，故不存在． 2. 设数列{an}的前n项和为Sn．若，则称{an}是“紧密数列”． （1）若数列{an}的前n项和，证明：{an}是“紧密数列”； （2）设数列{an}是公比为q的等比数列．若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”， 求q的 取值范围． 【解】（1）由数列{an}的前n项和， an＝＝＝n+ ()．……………分 所以，＝＝＝1+， ……………………………………4分 因为对任意n∈N*0＜≤ ，即1＜1+≤， 所以，1＜＝1+≤， 所以≤≤2，即{an}是“紧密数列”． ……………………………6分 （2）由数列{an}是公比为q的等比数列q＝， 因为{an}是“紧密数列”，所以≤q≤2． ………………………………8分 ① 当q＝1时，Sn=na1，=1+， 所以，≤1==1+≤2， 故q＝1{Sn}为“紧密数列”，故q＝1题意． …………10分 ② 当q≠1时，Sn＝，则=． {Sn}为“紧密数列”， ≤=≤2对于任意恒成立． （i）当≤q＜1时，(1－qn)≤1－qn+1≤2(1