分片代数超曲面的构造与参系数分片多项式系统的研究进展.PDFVIP

中国科学: 数学 2015 年 第45 卷 第9 期: 1423 1440 综 述 分片代数超曲面的构造与参系数分片多项式 系统的研究进展 献给徐利治教授 华诞 ∗ 赖义生 段德鑫 方小珂 杜伟平 浙江工商大学数学系, 杭州 310018 E-mail: laiyisheng67@163.com, duandexin0808@163.com, fangxk10@163.com, weipingdu@163.com 收稿日期: 2015-01-30; 接受日期: 2015-03-20; * 通信作者 国家自然科学基金(批准号: 资助项目 摘要 多元样条是具有一定光滑度的分片多项式, 具有一定光滑度的分片代数(超) 曲面(即多元样条 的零点集) 是表示或逼近曲面的重要工具. 研究一种有效方法用于构造具有一定光滑度和预先给定拓 扑的实分片代数超曲面是解决如何表示或逼近具有一定拓扑结构 (特别是复杂拓扑结构) 的几何物体 问题的重要途径之一, 也是计算几何与代数几何研究中一个新的重要主题. 参系数分片多项式系统不 仅与曲面相交、拼接和过渡曲面生成等一系列研究密切相关, 而且是参系数半代数系统的本质推广. 本文介绍分片代数超曲面的构造与参系数分片多项式系统的一些最近的研究进展. 关键词 分片代数超曲面 参系数分片多项式系统 Viro 方法 图 实零点数 主题分类 65D07, 65D10, 41A15, 41A46, 14G30, 14H99, 14M15, 14P25, 14Q10 引言 设∆ 是n 中区域Ω 的一个多面体剖分. 假如∆ 是一个有限的多面体集合, 使得∆ 中每个元素 的面和任两元素的交还是∆ 的元素, 则称∆ 为一个n 维复形, 且每一个∆ 的相对于包含关系的最大 元素是一个n 维多面体. 我们把∆ 的k 维元素称作k 维胞腔 (参见文献 [1–6]). 若两个n 维多面体在∆ 中沿n − 1 维公共面相交, 则称这两个n 维多面体是相邻的. 假如对每 ′ 个τ ∈ ∆ (包括空集), 以及∆ 的包含τ 的任何两个n 维多面体σ 和σ , 可以被一个∆ 中的多面体序 列σ = σ , σ , . . . , σ = σ′ 连接起来; 每一个σ 都是n 维的; 每一个σ 都包含τ ; 并且对每一个i, σ 1 2 m i i i 和σi+1 都是相邻的, 则称∆ 是遗传复形 (参见文献 [3–6]). 众所周知 (参见文献 [4, 7, 8]), ∆ 中的任意n 维胞腔都可写成有限个仿射半空间的交, 即 σi = {x ∈ n | g [i] (x) 0, . . . , g[i] (x) 0}, (1.1) 1 ηi 其中g [i] (x), . . . , g[i] (x) 是 [x , . . . , x ] 中的一次多项式, g [i] (x) = 0, . . . , g[i] (x) = 0 是σ 的各个面. 1 ηi 1 n 1 ηi i 英文引用格式 Lai Y S, Duan D X, Fang X K, et al. Progress in construction of piecewise algebraic hypersurfaces and solving parametric piecewise polynomial systems (in Chinese). Sci Sin Math, 2015, 45: 1423–1440, doi: 10.1360/N012015- 00063 赖义生等: 分片代数超曲面的构造与参系