一个解KdV方程的满足两个守恒律的差分格式.pdfVIP

维普资讯 2005年 12月 应用数学与计算数学学报 第 19卷 第2期 Dec．，2005 C0M M．0N APPL．M ATH．AND C0MPUT V01．19 NO．2 一 个解 KdV方程的满足两个守恒律的差分格式 崔艳芬 茅德康 上海大学数学系，上海， 200444 摘要：Korteweg—deVries(KdV)方程是人们在研究一些物理问题时得到的非线性波 动方程，其解满足无穷多个守恒律．本文为该方程设计了一种差分格式，其采用的是有限 体积法．但与传统的有限体积法不同的是，它的数值解同时满足两个相关的守恒律．这样 可以更好地保持解的物理上的守恒性质．数值例子表 明这一算法是有效的． 关键词：KdV方程，守恒律，网格平均，函数重构 1．引 言 具有如下形式的偏微分方程： 称为 Korteweg—deVries(KdV)方程，其中O为方程的解，r“t是r“对时间t的导数，r“ 是r“对空间变量X的一阶导数，r“ 是r“对X的三阶导数．本文考虑对方程 (1．1)的 数值模拟． 高精度的差分格式不一定能给出好的数值解，所以人们经常从物理定律出发构造 合理的差分格式，使其尽可能地保持原问题的物理性质． KdV方程具有无穷多个守 恒律，孤立子碰撞以后形状与波速保持不变，就是无穷多个守恒律的体现．其前两个 守恒律为： r“t+(3U+r“)=0， (1．2) (r“。)±+(4u。一r“2+2uu。)=0， (1．3) 第一个守恒律表示动量守恒，第二个守恒律表示能量守恒．在以下的讨论中我们记能 量 r“。为 (r“)，同时记动量和能量流函数分别为： f(u，r“)=3U+r“ (1．4) 和 F(r“，r“，r“zz)=4U。一r“2z+2UU ． (1．5) 本文设计了一种差分格式，它的数值解同时满足第一，第二守恒律．这样设计的格式 能更好地保持解的物理守恒性质，从而格式本身有更好的稳定性． 本文 2005年 4月8日收到 维普资讯 16 应用数学与计算数学学报 19卷 一 般的差分方法求得的数值解是对精确解在网格节点处值的逼近，但在对双曲守 恒型方程 (组)进行数值模拟时，更适合把数值解作为对精确解网格平均的逼近 (见[1】)． 在求解守恒方程时，一个好的格式应该是守恒的，非线性稳定的．近年来发展起来的 众多高分辨Godunov型格式都是满足这些条件的 (见 2[113[1．[l[91)．对单个守恒型方程 来说，传统的守恒型格式都只模拟一个守恒律． [4卜6[]文中发展了一种新的守恒型格 式．它是Godunov型的．但和传统格式不同的是，该格式同时模拟了两个相关的守恒 律．本文将 [4]~[6]文中的方法应用于 KdV方程，设计了同时满足两个相关守恒律的 差分格式．读者可以发现这种设计方法可以推广至设计同时满足多个守恒律的格式． 本文的结构如下，第一节是引言，第二节详细描述了我们的格式，第三节是数值 例子，最后是结论． 2．格式的描述 首先对 (x,t)平面进行网格剖分，其对应于 (x,t)平面 内的两组平行线：X，=l7，J= 0，4-1，士2，… 和 t=n n=0，1，2，…，其中h和 7_分别为空间步长和时间步长． 如引言中所述，我们的格式是 Godunov型的，其数值解 u?是对精确解的网格平 均的近似：