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第 5 次 课 教学目的：理解晶体的宏观对称性；理解对称操作；了解对称操作群的概念；了解点群，对称素的概念，了解32个点群；了解7大晶系14种布拉伐格子； 教学内容：§1.5 晶体的宏观对称性 §1.6 点群 §1.7 晶格的对称 重点难点：晶体的宏观对称性；对称素；对称操作；对称操作群 §1.5 晶体的宏观对称性 原子的周期性排列形成晶格，不同的晶格表现出不同的宏观对称性，怎样描述晶体的宏观对称性？ 概括晶体宏观对称性的系统方法就是考察晶体在正交变换的不变性。 在三维情况下，正交变换表示为： —— 矩阵是正交矩阵 —— 如图XCH001_062所示，绕z轴转θ角的正交矩阵： P点的坐标变换： —— 中心反演的正交矩阵： P点的坐标变换： —— 一个变换为空间转动，矩阵行列式等于＋1 —— 变换为空间转动加中心反演，矩阵行列式等于－1 —— 一个物体在某一个正交变换下保持不变，称之为物体的一个对称操作，物体的对称操作越多，其对称性越高。 1 立方体的对称操作 1) 绕三个立方轴转动：，共有9个对称操作；如图XCH001_026_01所示。 2) 绕6条面对角线轴转动，共有6个对称操作；如图XCH001_026_02所示。 3) 绕4个立方体对角线轴转动，共有8个对称操作；如图XCH001_026_03所示。 4) 正交变换也是一个对称操作； （不动操作） 5) 以上24个对称操作加中心反演仍是对称操作 —— 立方体的对称操作共有48个。 —— 4重轴、3重轴和2重轴的标记如图XCH001_056所示。 2 正四面体的对称操作 —— 四个原子位于正四面体的四个顶角上，显然正四面体的对称操作包含在立方体操作之中 —— 如图XCH001_027所示 1) 绕三个立方轴转动：，共有3个对称操作； 2) 绕4个立方体对角线轴转动，共有8个对称操作； 3) 正交变换也是一个对称操作； 4) 绕三个立方轴转动：，加上中心反演，共有6个对称操作； 5) 绕6条面对角线轴转动，加上中心反演，共有6个对称操作； —— 正四面体的对称操作共有24个 3 正六面柱的对称操作 1) 绕中心轴线转动：，共有5个对称操作；如图XCH001_028所示。 2) 绕对棱中点连线转动，共有3个对称操作； 3) 绕相对面中心连线转动，共有3个对称操作； 4) 正交变换也是一个对称操作； 5) 以上12个对称操作加中心反演仍是对称操作 —— 正六面柱的对称操作共有24个 4 对称素 为简洁明了地概括一个物体的对称性，不去一一列举所有的对称操作，而是描述它所具有的“对称素”。对称素就是一个物体的旋转轴，以及旋转－反演轴。 一个物体绕某一个转轴转动，以及其倍数不变时，称该轴为物体n重旋转轴，计为n。 一个物体绕某一个转轴转动加上中心反演的联合操作，以及其联合操作的倍数不变时，称该轴为物体n重旋转－反演轴，计为。 （1）立方体 —— 立方轴为4重轴，计为4；同时也是4重旋转－反演轴，计为； —— 面对角线为2重轴，计为2；同时也是2重旋转－反演轴，计为； —— 体对角线轴为3重轴，计为3；同时也是3重旋转－反演轴，计为； （2）正四面体 —— 立方轴是4重旋转－反演轴，但不是4重轴 —— 面对角线是2重旋转－反演轴，但不是2重轴 —— 体对角线轴是3重轴，但不是3重旋转－反演轴 （3）对称素 它的含义：先绕轴转动π，再作中心反演，如图XCH001_029所示。点实际上是A点在通过中心垂直于转轴的平面M的镜像，表明对称素存在一个对称面M。所以称对称素为镜面，用m 或σ 表示。 （4）对称操作群 —— 一个物体的全部对称操作构成一个对称操作群 5 群的基本知识 （1）群的基本性质 群代表一组“元素”的集合，G≡{E,A,B,C,D……}这些“元素”被赋予一定的“乘法法则”，满足下列性质： 1) 集合G中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素，即，若 A, B ∈ G, 则AB=C ∈ G. 叫做群的封闭性。 2) 存在单位元素E, 使得所有元素满足：AE = A 3) 对于任意元素A, 存在逆元素A-1, 有：AA-1=E 4) 元素间的“乘法运算”满足结合律：A(BC)=(AB)C （2）几个简单的群 1) 所有正实数(0除外)的集合，以普通乘法为运算法则，组成正实数群。 2) 所有整数的集合，以加法为运算法则，组成整数群。 一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义，其运算法则就是连续操作。 单位元素：不动操作 任意元素的逆元素：绕转轴角度，其逆操作为绕转轴角度；中心反演的逆操作仍是中心反演； 连续进行A和B操作，相对于C操作，如