近世代数证题.docVIP

证明题 f1、设G是群，a∈G ，令CG（a）= {x|x∈G ，xa = ax}，证明：CG（a）≤G f 2、设G ~ ，≤，H = {x | x ∈G ，f（x）∈ }。证明：H/Kerf ≌. 3、证明：模m的剩余类环Zm的每一个理想都是主理想。 4、设R = ，a，b，c ∈Z ，I = x∈Z 。 （1）验证R是矩阵环Z2×2的一个子环。 （2）证明I是R的一个理想。 5、设G是群，u是G的一个固定元，定义“o”：aob = a u 2 b （a，b∈G），证明 （G，o）构成一个群. 6、设R为主理想整环，I是R的一个理想，证明R/I是域I是由R的一个素元生成的主理想. 7、证明：模m的剩余类环Zm的每个子环都是理想. 8、设G是群，H≤G。令NG（H） = {x | x∈G，xH = Hx }.CG（H）= { x | x∈G，h ∈H，hx = xh }.证明： （1）NG（H）≤G （2）CG（H）△NG（H） 9、证明数域F = {a＋b|a，b∈Q}的自同构群是一个2阶循环群. f10、设R是主理想环，I = （a）是R的极大理想，ε是R的单位，证明：εa 是R的一个素元. f 11、设G与是两个群，G ~ ，K = Kerf，≤，令H = {x |x∈G?，f(x) ∈}，证明：H≤G且H/K ≌. 12、在多项式环Z[x]中，证明： （1）（3，x）= {3a0＋a1x＋…＋anxn|ai ∈Z}. （2）Z[x]/(3，x)含3个元素. 13、设H是群G的子群,令NG(H)={x|x?G, xH=Hx},证明NG(H)是G的子群． 14、在整数环Z中, a, b?Z,证明(a, b)是Z的极大理想的充要条件是a, b的最大公因数是一个素数。 15、设R=, I=． (1) 验证R对矩阵的加法和乘法构成环。 (2) 证明I是R的一个理想。 16、设G是群，令 C={x|x?G, ?y?G, xy=yx},证明C是G的正规子群。 17、在整数环Z中, p, q是不同的素数,证明 (p)(q)=(pq), (p,q)=Z。 18、若Q是有理数域,证明(x)是Q[x]的极大理想。 19、设G=(a)是一无限循环群，证明G的生成元只有两个。 20、设G是交换群，证明G中一切有限阶元素组成的集合T是G的一个子群， 且除单位元之外不含有限阶元素。 21、设证明(R,+,?)是整环（+,?是数的加法与乘法）． 22、取定群G的元u,在G中定义新的“o” ：aob=aub.a.bG.证明（Ｇ，o）是群． 23、设A是实数域R上一切三阶方阵关于方阵的加法、乘法作成的环。证明 是A的一个左理想。 24、证明一个主理想环I的每一非零极大理想都是一个素元所生成的。 25、证明循环群的子群也是循环群。 26、证明（3，x）是Z[x]的一个极大理想。 27、I是一个整环，a, bI,（a），（b），是两个主理想，证明（a）＝（b）的充要条件是 a与b相伴。 28、设p是一个素数，证明2p阶群G中一定有一个p阶子群N。 29、若G是一个群,e是G的单位元,G中任何元都是方程的解，证明G是一个交换群。 30、若G是一个循环群,N是G的一个子群,证明也是一个循环群. 31、证明环R的两个理想的交集仍是R的一个理想。 32、设I是一个主理想环,a, bI, d是a是与b的一个最大公因子,证明(a, b)=(d)。 33、设G是一个43阶的有限群,证明G的子群只有单位元群及G本身。 34、在整数环Z中,证明Z∕(p)是域p为质数(素数)。 35、在多项式环Z[X]中,证明(5,X)不是主理想。 36、证明群G为交换群为G到G的一个同构映射。 37、设R是一有单位元的交换环，且R只有平凡理想，证明R是域。 38、证明阶是素数的群一定是循环群。 39、证明在高斯整数环Z[i]={a+bi,bZ, i=-1}中，3是一个素元。 40、设Z是整数环, x是Z上的未定元, 证明Z[x]的生成理想。 (3,x)={},并且剩余类环={[0]，[1]，[2]}。 41、 证明(5,x)不是Z[x]的主理想。 42、设G是一个1000阶的交换群，a是G的一个100阶元，证明 。 43、证明整数环Z到自身的所有同态映射为零同态和恒等同态。 44、设是有理数域上的二阶方阵环，证明只有零理想和单位理想，但不是一个除环。 45、设G是群，f：G→G，aa2,()证明f是群G的自同态G是交换群。 46、设G=｛（a, b）|a, b|R,｝，在G上定义“”：(a, b) 证明（G，）构成一个群。 47、设G是有限交换群，f：GG,f(g)=gk(gG)证明fAut(G)(k,|G|)=1。 48、设G是100阶的有限交换