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第23讲 可积条件及可积函数类 授课题目 可积条件及可积函数类 教学内容 1. 函数可积的必要条件；2. 函数可积的第一、二充要条件； 3.可积函数类（最基本三种）；4. 黎曼（Rieman）函数的可积性. 教学目的和要求 通过本次课的教学，使学生能理解函数可积的必要条件，函数可积的第一、二充要条件，学会证明连续函数，只有有限多个间断点的函数和单调函数的可积性问题，了解黎曼（Rieman）函数的可积性的证明方法. 教学重点及难点 教学重点：函数可积的第一、二充要条件，可积函数类（三种）； 教学难点：函数可积的第一、二充要条件. 教学方法及教材处理提示 (1) 理解定积分的第一、二充要条件是本节的重点． (2通过证明连续函数，只有有限多个间断点的函数和单调函数的可积性，强化学生对积分第一、二充要条件的理解和掌握. (3 关于黎曼（Rieman）函数的可积性的证明只作出一些提示，要求较好学生能理解，在习题课种再讨论. 作业布置 作业内容：教材 :1，2，3，4. 讲授内容 一、可积的必要条件 定理9．2 若函数在上可积，则在上必定有界． 证：用反证法．若在上无界，则对于的任一分割，必存在属于的某个小区间上无界．在各个小区间上任意取定，并记 现对任意大的正数，由于在上无界，故存在，使得 于是有 由此可见，对于无论多小的，按上述方法选取点集时，总能使积分和的绝对值大于任何预先给出的正数，这与在上可积相矛盾． 例1 （有界函数不一定可积）证明狄利克雷函数，在上有界但不可积． 证：显然，对于的任一分割，由有理数和无理数在实数中的稠密性，在属于的任一小区间上，当取全为有理数时，；当取全为无理数时，．所以不论多么小，只要点集取法不同(全取有理数或全取无理数)，积分和有不同极限，即在上不可积．由此可见，有界是可积的必要条件．以后讨论函数的可积性时，总是假设函数是有界的． 二、可积的充要条件 要判断一个函数是否可积，固然可以根据定义，直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和的复杂性和那个常数不易预知，因此这是极其困难的．下面即将给出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值． 设为对的任一分割．由在上有界，它在每个上存在上、下确界： 作和分别称为关于分割的上和与下和(或称达布上和与达布下和，统称达布和)．任给，显然有 与积分和相比较，达布和只与分割有关，而与点集无关．通过讨论上和与下和当时的极限来揭示在上是否可积．所以，可积性理论总是从讨论上和与下和的性质入手的． 定理9．3 (可积准则) 函数在上可积的充要条件是：任给,总存在相应的一个分割，使得 设称为在上的振幅，有必要时也记为。由于S()－(或记为)，因此可积准则又可改述如下： 定理 函数在上可积的充要条件是：任给，总存在相应的某一分割，使得 几何意义是：若在上可积，则包围曲线的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分地细；反之亦然． 三、可积函数类 根据可积的充要条件，我们证明下面一些类型的函数是可积的(即可积的充分条件)． 定理9．4 若为上的连续函数，则在上可积． 证：由于在闭区间上连续，因此在上一致连续．这就是说，任给，存在0，对中任意两点，只要，便有所以只要对所作的分割满足，在丁所属的任一小区间上，就能使的振幅满足 从而导致，由定理，证得在上可积． 定理9．5 若是区间上只有有限个间断点的有界函数，则在上可积．， 证：不失一般性，这里只证明在上仅有一个间断点的情形，并设该间断点即为端点． 任给，取，满足，且，其中与分别为在上的上确界与下确界(设，否则为常量函数，显然可积)．记在小区间上的振幅为，则 ， 因为在上连续，由定理9．4知在上可积．再由定理9．3，(必要性)，存在对的某个分割，使得 令，则 是对的一个分割，对于，有 根据定理9.3(充分性)，证得在上可积． 定理9.6 若是上的单调函数，则在上可积． 证：设为增函数，且，则为常量函数，显然可积．对的任一分割，由的增性，在所属的每个小区间上的振幅为 于是有 由此可见，任给，只要这时就有 所以在上可积． 注意：单调函数即使有无限多个间断点，仍不失其可积性． 例2 试用两种方法证明函数 在区间上可积． 证：[证法一]由于是一增函数，虽然它在上有无限多个间断点 但由定理9.5，仍保证它在上可积． [证法二](仅利用定理9.3，和定理9.5) 任给，由于，因此当充分大时，这说明在上只有有限个间断点．利用定理9．5和定理9．3，推知在上可积，且存在对的某一分割，使得 在把小区间与合