第36讲 学归纳法.docVIP

第36讲 数学归纳法 【考点解读】 1、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题要分两步完成①验证n取第一个值n。（n。是使结论有意义的最小正整数）时结论成立，②假设是n=k（k∈N+，且k≥n。）时结论成立，再推论n=k+1时成立，完成以上两步后，下一个总的结论。 2、使用数学归纳法时，两步缺一不可，第一步归纳验证是证明的归纳基础，第二步先归纳假设再归纳推理，反映了无限递推关系，是数学归纳法的递推步骤，在从n=k至n=k+1的递推过程中，一定要用到归纳假论，否则就不正确。 【知识扫描】 1、在证明传递性时应注意：证明n=k+1成立时，必须要用到n=k成立的假设，否则，就不是数学归纳法。 2、证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． 3、用数学归纳法证明代数恒等式的关键是在第二步将式子代为与归纳假设结构相同的形式，再利用归纳假设进行恒等变形，用数学归纳法证不等式时，在把n=k的不等式转化为n=k+1的不等式成立的命题时，比较法、综合法、分析式、放缩法等不等式的证明方法是常用方法，用数学归纳法证明整除性问题、几何问题时，要注意寻找当n=k到n=k+1时，代数式或几何之素是如何增加的，做到有目标的变形。 【考计点拨】 牛刀小试： 1．一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于(　　) A．一切正整数命题成立 B．一切正奇数命题成立 C．一切正偶数命题成立 D．以上都不对 解析：选B.本题证的是对n＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立． 2．在数列{an}中，an＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2n－1)－eq \f(1,2n)，则ak＋1＝(　　) A．ak＋eq \f(1,2k＋1) B．ak＋eq \f(1,2k＋2)－eq \f(1,2k＋4) C．ak＋eq \f(1,2k＋2) D．ak＋eq \f(1,2k＋1)－eq \f(1,2k＋2) 解析：选D.a1＝1－eq \f(1,2)，a2＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)，…，an＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2n－1)－eq \f(1,2n)，ak＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2k－1)－eq \f(1,2k)，所以，ak＋1＝ak＋eq \f(1,2k＋1)－eq \f(1,2k＋2). 3．设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k＋1)与f(k)的关系是(　　) A．f(k＋1)＝f(k)＋k＋1 B．f(k＋1)＝f(k)＋k－1 C．f(k＋1)＝f(k)＋k D．f(k＋1)＝f(k)＋k＋2 解析：选C.当n＝k＋1时，任取其中1条直线，记为l，则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k)，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点)；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是f(k)＋k＝f(k＋1)． 4．用数学归纳法证明当n∈N*时1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数时，当n＝1时原式为________，从k→k＋1时需增添的项是____________． 解析：把n＝k，n＝k＋1相比较即可得出． 答案：1＋2＋22＋23＋24　25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4 5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝eq \f(n4＋n2,2)时，当n＝k＋1时左端在n＝k时的左端加上________． 解析：n＝k时左端为1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2. 答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 典例分析 题型一 用数学归纳法证明等式 例1、(江西省南昌二中2012届高三第三次月考理科20)已知数列｛｝满足：， （Ⅰ）求； （Ⅱ）猜想数列｛｝的通项公式，并证明你的结论； （Ⅲ）已知数列｛｝满足：，S为数列｛｝的前n项和，证明：… 【解析】 【变式训练】用数学归纳法