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泛函分析课程总结 数学与计算科学学院 09数本5班 符翠艳 2009224524 序号：26 一．知识总结 度量空间和赋范线性空间 度量空间的定义：设是一个集合，若对于中任意两个元素，都有唯一确定的实数与之相对应，而且满足 则称为上的一个度量函数，（）为度量空间，为两点间的度量。 度量空间的例子 = 1 \* GB3 ①离散的度量空间 设是任意的非空集合，对中任意两点,令 = 2 \* GB3 ②序列空间S 令S表示实数列（或复数列）的全体，对S中任意两点，令 = 3 \* GB3 ③有界函数空间B（A） 设A是一给定的集合，令B（A）表示A上有界实值（或复值）函数全体，对B（A）中任意两点，定义 = 4 \* GB3 ④可测函数空间m(X) 设m(X)为X上实值（或复值）的L可测函数全体，m为L测度，若，对任意两个可测函数，令 = 5 \* GB3 ⑤空间 令表示闭区间上实值（或复值）连续函数的全体，对中任意两点，定义 = 6 \* GB3 ⑥空间 记，设，，定义 注：度量空间中距离的定义是关键。 3.度量空间中的极限，稠密集，可分空间 3.1收敛点列和极限 定义： 设是中的点列，如果存在,使，则称点列是中的收敛点列，是点列的极限。 注：1.度量空间中的收敛点列的极限是唯一的。 2.各个度量空间中各种极限概念不完全一致（依坐标收敛，一致收敛。依测度收敛等） 3.2度量空间中稠密子集和可分度量空间 定义：设是度量空间，和是中两个自己，令表示的闭包，如果,那么称在集中稠密，当= 时称是的一个稠密子集。如果由一个可数的稠密子集，则称是可分空间。 注：1.若A在B中稠密，B在C中稠密，则A在C中稠密。 2. 欧氏空间Rn、空间C[a,b]、空间是可分的。 3. 不可分。 4.完备度量空间 4.1 柯西点列 定义：设是度量空间，是中的点列，如果对任意给定的正数，存在正整数,使当n,mN时，必有 则称是中的柯西点列。那么称是完备的度量空间。 4.2 完备度量空间的例子 = 1 \* GB3 ① 是完备度量空间 = 2 \* GB3 ② C是完备度量空间 = 3 \* GB3 ③是完备度量空间 4.3定理的证明 定理：完备度量空间的子空间是完备空间的充要条件为是中的闭子空间。 证明：设是完备子空间，对每个，存在中点列，使，由前述，是中的柯西点列，所以在中收敛，有极限的唯一性可知，即,，所以，因此是中的闭子空间。 5.度量空间的完备化 5.1等距同构映射 定义：设，是两个度量空间，如果存在到上的保距映射T，即，则称和等距同构，T称为到上的等距同构映射。 5.2 度量空间的完备化定理 定理：设是度量空间，那么一定都一定存在一个完备空间，使与的某个稠密子空间等距同构。并且在等距同构的意义下时唯一的，即也是一完备度量空间，且与的某个稠密子空间等距同构，则与等距同构。 注：任一度量空间都存在唯一的完备度量空间，使为的稠密子空间。 6.压缩映射 6.1压缩映射 定义：设是度量空间，T是到中的映射，如果存在一个数，，使得对所有的， （1） 则称T是压缩映射 6.2压缩映射定理 定理：设是完备的度量空间，T是上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点（就是说，方程，有且只有一个解）。 证明：设是中任意一点，令，。我们证明点列是中柯西点列，事实上， （2） 由三点不等式，当nm时， 因，所以，于是得到 （nm） (3) 所以当时，，即是中柯西点列，由完备，存在，使，又由三点不等式和条件（1），我们有 上面不等式右端当时趋于0，所以即 下证唯一性。如果又有使,则由条件（1）， 因，所以必有，即。 注： 1. 是完备的度量空间 2.T是压缩映射 3.压缩定理可以推导出隐函数存在定理 4.压缩映射原理可以证明常微分方程解得存在性和唯一性定理 7.赋范线性空间和巴拿赫空间 7.1赋范线性空间 定义：设是实（或复）的线性空间，如果对每个向量，有一个确定的实数，记为与之对应，并满足 则称为向量的范数，称按范数成为赋范线性空间。 设是中点列，如果存在，使，则称依范数收敛于，记为。如果令 即依范数收敛于等价于按距离收敛于，称为由范数导出的距离。 注：完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间 7.2几种常见的巴拿赫空间 = 1 \* GB3 ①欧式空间 对每一个，定义范数 （1） 又因完备，是中范数。故按（1）式中范数成为巴拿赫空间。 = 2 \* GB3 ②空间 对每一个，定义 （2） 按（2）式中