高一用指数函数经典例题.docVIP

指数函数 指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学 ∴函数f(x)在??∞， 若x≥0，则3 xx≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)； x 若x?0，则3?2?1，∴f(3)?f(2)． 综上可得f(3)≥f(2)，即f(c)≥f(b)． xxxxxx 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知(a?2a?5)23x?(a2?2a?5)1?x，则x的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵a?2a?5?(a?1)?4≥4?1， 22 ∴函数y?(a?2a?5)在(?∞，?∞)上是增函数， ∴3x?1?x，解得x?2x1?1?．∴x的取值范围是?，?∞?． 4?4? 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数y 解：由题意可得1?6x?2 ≥0，即6x?2≤1， 2?． ∴x?2≤0，故x≤2． ∴函数f(x)的定义域是??∞， 令t? 6x?2，则y?， x?2 又∵x≤2，∴x?2≤0． ∴0?6 ∴0≤1?t?1，即0≤y?1． ≤1，即0?t≤1． ， ∴函数的值域是?01?． 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响． 4．最值问题 例4 函数y?a x2x?2ax?1(a?0且a?1)在区间[?11]，上有最大值14，则a的值是_______． 分析：令t?a可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t的取值范围． 解：令t?a，则t?0，函数y?ax2x?2ax?1可化为y?(t?1)2?2，其对称轴为t??1． ， ∴当a?1时，∵x???11?， ∴11≤ax≤a，即≤t≤a． aa ∴当t?a时，ymax?(a?1)2?2?14． 解得a?3或a??5（舍去）； ， 当0?a?1时，∵x???11?， ∴a≤ax≤11，即a≤t≤， aa 21?1? ∴ t?时，ymax???1??2?14， a?a? 解得a?111或a??（舍去），∴a的值是3或． 353 评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等． 5．解指数方程 例5 解方程3x?2?32?x?80． x2xx2 解：原方程可化为9?(3)?80?3?9?0，令t?3(t?0)，上述方程可化为9t?80t?9?0，解得t?9或t?? ∴3?9，∴x?2，经检验原方程的解是x?2． 评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 6．图象变换及应用问题 例6 为了得到函数y?9?3?5的图象，可以把函数y?3的图象（ ）． A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 分析：注意先将函数y?9?3?5转化为t?3 解：∵y?9?3?5?3 的图象，故选（C）． xx?2xx?2x1（舍去），9xx?5，再利用图象的平移规律进行判断． xx?5，∴把函数y?3的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数y?9?3?5 评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变 化规律，比如：平移、伸缩、对称等． 习题 1、比较下列各组数的大小： （1）若 （2）若 （3）若 （4）若 （5）若 ，比较 ，比较 ，比较 与 与 与 ，且 ，且 ； ； ； ，比较a与b； ，比较a与b． 解：（1）由 ，故 ，此时函数 为减函数．由 ，故 ． （2）由 ，故 ．又 ，故 ．从而 ． （3）由 ，因 ，故 ．又 ，故 ．从而 ． （4）应有 而 ．因若 ，则 矛盾． ．又 ，故 ，这样 ．又因 ，故 ．从 ，这与已知 （5）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样有 ．又因 ，且 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾． 小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解． 2曲线 ( 分别是指数函数 ,在 轴右侧令 题则是由图到 , 和 的图象,则 与1的大小关系是 ( ). 分析:首先可以根据指数函数单调性,确定 ,对应的函数值由小到大依次为 ,故应选 . 小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转