随机过程课件第二章.docVIP

第二章 概率空间 2.1 概率空间与随机变量 1、域 定义2-1 若是中一些子集组成的集类，且满足： （1）； （2）若，则； （3）若，则， 则称为上的一个域或代数。并称二元组为可测空间。 注：设是某一随机试验的基本事件空间或样本空间，中的元素就是描述该试验的基本事件，即试验的可能结果。样本空间的子集称为事件。 2、定理2-1 设是中一些子集组成的集类，则存在唯一的的代数，它包含而且被包含的任一代数所包含。称为由生成的代数，或包含的最小代数。 3、Borel集 设，则集类 是的子集类，式中的，。则域称为d维Borel域（代数），其元素称为Borel集。 3、概率空间 对于可测空间，在上定义一个非负集函数，以度量中事件发生可能性大小，它满足 非负性：，对于任何事件； 规范性：； 可列可加性：若，且两两不交，则 称为事件A的概率，称为概率空间。 4、随机变量 设是一可测空间，若函数使得对任意，有 则称函数是关于（或上）的可测函数。在概率空间上定义的可测函数称为随机变量。 5、分布函数 设是定义在上的一个随机变量，令 ， 称为随机变量的分布函数。 6、定义2-2 设是概率空间上的一个随机变量，对Borel集B，定义 把称为的分布。 7、两个重要的离散型分布 （1）二项分布 设，若的分布为 称随机变量服从参数为的二项分布。 （2）泊松分布 设，若的分布为 称随机变量服从参数为的泊松分布。 8、三个重要的连续型分布 （1）均匀分布 如果连续型随机变量的分布密度为 则称在区间上服从均匀分布，记为。 （2）指数分布 如果连续型随机变量的分布密度为 则称服从参数为的指数分布。 注：指数分布具有无记忆性，即若服从指数分布，则对于任意，有 。反过来，如果一个非负连续型随机变量 的分布函数具有无记忆性，则它一定是指数分布。 （3）正态分布 如果连续型随机变量的分布密度为 式中，，则称服从参数为的正态分布或高斯分布，记为。 2.2 随机变量的数字特征 1、离散型随机变量数字特征 设离散型随机变量的分布率为，则 称为随机变量数学期望或均值。 令 称为随机变量的方差。 令 称为随机变量的阶矩。 令 称为函数的数学期望。 2、连续型随机变量数字特征 设连续型随机变量的分布密度为，则 称为随机变量数学期望或均值。 令 称为随机变量的方差。 令 称为随机变量的阶矩。 令 称为函数的数学期望。 注：数学期望反映了随机变量取值的平均水平。方差和标准方差体现了随机变量与期望值得偏离程度。 3、Chebyshev不等式 设随机变量的均值为，方差为，则对于任意，不等式 称为切比雪夫（Chebyshev）不等式。 例2-5 对于非负值随机变量, 可以证明 式中或者有限, 或者等于. 证 由分部积分公式, 有 当时, 由上式可知, 只需证明第一项等于. 事实上, 于是原式成立. 当时, 由于 于是原式成立 2.3 随机向量及其联合分布 1、n维随机变量及其数学特征 设，如果其中每一个分量是一维的、取值为实数的随机变量，则称为n维随机向量。 定义2-2 设为n维随机向量，则的联合概率分布定义为 其中。又简称为的分布函数。 设x为上非负可积函数，使得对任意，有 则称为连续型随机变量，为的联合概率密度。 设为随机变量的概率密度，那么其中任意分量组 都存在概率密度，把它们称为的边缘密度。 随机变量的协方差定义为 随机变量的相关系数定义为 随机变量的数学期望定义为 随机变量的协方差矩阵定义为 其中， 2、随机事件独立和相关的定义 定义2-4 随机变量称为是相互独立的，如果有 即事件与是互相独立的。 定义2-5 如果随机变量，对于任意 ,满足 则称随机变量是相互独立的，即事件是相互独立的。 3、相互独立的随机变量的性质 定理2-3 如果相互独立且它们的数学期望存在，则对于任何实函数 ，有 定理2-4 设为n维随机向量，设为其概率密度函数。现有n元函数，且存在唯一反函数 。如果有连续偏导数，则由分量 所给定的n维随机向量的概率密度函数为 其中，。而且J为坐标变换的雅可比矩阵 为坐标变换的雅可比行列式。 2.4 条件数学期望 1、离散型随机变量的条件数学期望 设为离散型随机变量，对一切使成立的，给定时，随机变量的条件分布函数定义为 设随机变量可能的取值为，离散型条件数学期望定义为 2、连续型随机变量的条件数学期望 设为连续型随机变量，对一切使成立的，给定时，随机变量的条件概率密度定义为 给定时，随机变量的条件分布函数定义为 连续型条件数学期望定义为 用表示随机变量的函数，它在时，取值为.下面介绍随机变量的基本性质. （1）和是两个随机