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\例说求函数值域的十种基本方法 1、利用非负数的性质 根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。 例1、(1)求函数的值域。 (2)求函数的值域。 解析：(1)， 故 所求函数的值域为 。 (2)，原函数可化为 ，即 ， 当时，， ，，解得 又 ， 所以 ， 故 所求函数的值域为 。 2、利用函数的图象 对于含有绝对值（或分段）函数，若函数图象比较易作出，则利用函数图象能较快的求出其值域。 例2、求函数的值域。 解析：去掉绝对值符号得 ： 。 画出函数的图象（如图）：由函数的图象可得，原函数的值域为。 3、利用二次函数的性质 对于二次函数或与二次函数有关的函数，在求其值域时常用此法。 例3、(1)求函数的值域。 (2)求函数的值域。 解析：(1)，， 故 所求函数的值域为 (2)， ，, 故 所求函数的值域为 。 4、利用互为反函数的性质 因为原函数的值域与其反函数的定义域相同，所以可由求其反函数的定义域来确定原函数的值域。 例4、求函数的值域。 解析：已知函数的反函数为 由，解得， 故 所求函数的值域为。 5、利用换元法 某些函数通过换元，可使其变为我们熟悉的函数，从而求得其值域，但在代换时应注意等价性。 例5、求函数的值域。 解析：令，，则， ，当且仅当 故 所求函数的值域为 。 6、利用部分分式法 对于形如的有理分式函数均可利用部分分式发求其值域。 例6、(1)求函数的值域。 (2)求函数的值域。 解析：(1) 因为， 故 所求函数的值域为(此题也可用反函数法求解) (2) 因为， 而，所以，则， 故 所求函数的值域为。(此题也可用判别式法求解) 7、利用判别式法 将函数表达式转化为关于的一元二次方程，把看成相应的系数，因为方程有实根，由判别式，求得函数的值域，此法常用于的有理分式函数的值域探求问题。 例7、求函数的值域。 解析：由于函数的定义域为， 所以去分母整理得：， 当时，， 即，解得：， 又当时，，. 8、利用三角函数的有界性 由于三角函数具有有界性：，这一性质在求有关函数的值域中有其独特的重要作用。 例8、求函数的值域。 解析：由于，所以 去分母整理得：， ，则. 由，得 ，解得：， 故 所求函数的值域为 。 9、利用函数的单调性 利用函数的单调性由函数的定义域先求出内函数的值域，再进一步求出外函数的值域(此法对求复合函数的值域非常适用)。 例9、(1)求函数的值域。 (2)求函数的值域。 解析：(1)令，由于上均为增函数，所以 在也是增函数， 所以 ， 故 所求函数的值域为。 (2)令，，则在上递减， ，，再令，又上递减， 故 所求函数的值域为 10、利用均值不等式 对于非基本函数，若所给函数表达式符合均值不等式，可试用此法。 例10、求函数的值域。 解析：当，当 当 . 当且仅当 故 所求函数的值域为 。 例1．求下列函数的值域： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）． 函数f(x)= eq \f(1,1+x2) (x∈R)的值域是 ( ) A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1] 已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。 （I）求的解析式； （II）是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不 等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不1．函数的值域为 ． 2．若函数在上的最大值与最小值之差为2，则 ． 3、已知（是常数），在上有最大值3，那么在上的最小值是 （ ） A． B． C． D． 1函数 ( ) (A) (- (B) ( (C) (-1,+ (D) (- 2、函数在区间[－1，5]上的最大值是______ 3、已知函数的值域为[－1，4]，求常数的值。 4、（04年天津卷.文6理5）若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则a= （ ） A. B. C. D.