求函数域的几种方法.docVIP

高中数学中求函数值域的几种方法 汝南双语学校 赵保刚 　　函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题. 定义域、HYPERLINK /view/1084767.htm对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄彼，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反HYPERLINK /view/556618.htm函数定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的HYPERLINK /view/580425.htm奇偶性、HYPERLINK /view/1069206.htm单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难。实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函数的理解，从而深化对函数本质的认识。 若有非空数集A到B的映射f:A→B，则函数：y=f(x)(x∈A,y∈B)的值域是自变量x在f作用下的函数值y的集合C，很明显，C B，求函数值域的方法要随函数式的变化而灵活掌握，同时应注重数形结合，等价转换，分类讨论等重要数学思想的理解与运用。下面通过八个方面的例题来加以说明。 　题型一 定义法　　要深刻领会映射与函数值域的定义。 　　例1．已知函数f:A→B（A，B为非空数集），定义域为M，值域为N，则A，B，M，N的关系：（ ）。　　A．M＝A，N＝B　　 B．M N，N＝B　 C．M＝A，N B　　D．M A，N B 　　说明：函数的定义域是映射f：A→B中的原象集合A，而值域即函数值的集合是集合B的子集。　　故：应有M＝A，N B，选C。 　　例2．已知函数f(x)=2log2x的值域是[-1，1]，求函数y=f-1(x)的值域。 　　分析：要求反函数的值域，只需求原函数的定义域。 　　解：由已知可得　　f(x)∈[-1，1]， ，解之得 ，　　即函数y=f-1(x)的值域是 。 　　题型二 利用均值定理求函数的值域 　　例3．若函数 的定义域是(0,+∞)，求值域。 　　解：∵ ,　　∴ ,则　　　　　当且仅当时取“=”。因此，函数的值域是 。 　　例4．已知x+2y=1，x,y∈R+,求的最小值。 　　解：由已知x+2y=1,x,y∈R+,则有 　　　　　　　 　　当且仅当 ，即 时取等号，故 的最小值是。 　　说明：利用重要不等式均值定理求函数值域，要注意三条原则：一正数，二定值，三取等。 　　题型三 配方法　　形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数常用配方法求函数的值域，要注意x的取值范围。 　　例5．设（a∈R），如果x∈(-∞,1)时，f(x)有意义，求a的取值范围。 　　解：由题知，当x∈(-∞,1)时，要使函数f(x)有意义，需满足不等式：， 　　即1＋2x+a×4x0恒成立，分离常数得　　　　由于 ，因而。 　　故a的取值范围是。 　题型四 换元法 　　通过代数换元法或者三角函数换元法，把无理函数、指数函数、对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方法。　　例6．已知函数f(x)的值域是。求 的值域。　　解：∵，　　∴ 。　　故 ，　　令 ，则，　　有 ，，　　由于y=g(t)在时单调递增，　　∴ 当时， ;　 　当时， 。　　∴ 的值域是 。 　题型五 判别式法　　形如的函数值域，可变形为　　(dy-a)x2+(ey-b)x+(fy-c)=0......(1)　　当dy-a≠0时，(1)式为关于x的一元二次方程，由于函数的定义域为非空数集，故方程(1)有实根，因而Δ=(ey-b)2-4(dy-a)(by-c)≥0.....(2)，再通过不等式(2)求y的最大值和最小值。此法称为判别式法 　　例7．求函数的值域。 　　解：由已知得，　　(y-1)x2+(1-y)x+y=0.　　　当y=1时，方程(y-1)x2+(1-y)x+y=0无解，　　∴ y≠1,　　又∵ x∈R，则 Δ＝(1-y)2-4y(y-1)≥0　　解之得。　　又因为y≠1,　　故函数值域为。 　　说明：利用判别式法