《数学物理方法》授课教案_第七章.docVIP

数学物理定解问题 在普通物理量中，我们研究位移、电流或电压随着时间而变化的规律时，导出了以时间为自变数的常微分方程，但是，在实际工作中这远远不够，有时要求知道空间连续分布的各种物理场的状态和物理过程，这些物理问题不仅仅是时间的函数，也是空间坐标的函数。 反映物理量在空间中的分布规律和随时间的变化规律，这就是物理课程中所研究并加以论述的物理规律，往往要用一个二阶偏微分方程表示，这样的方程称之为“数学物理方程”。它反映的是同类物理现象所隐含的共同规律。 对一物理事件来说，除了受到物理规律支配以外，还受到边界环境的制约。决定物理过程最终结果的边界环境——称之为边界条件。同样的边界条件，受到同样的物理规律支配，那么结果是否就一样呢？如质点的运动规律都可用牛顿定律来描述，但由于不同的运动过程开始，直接导致了不同的结果。我们把这个“开始”称为初始条件。 单纯的数学物理方程叫泛定方程 泛定方程 ＋ 边界条件和初始条件定解问题 数学物理方程包含三类： 波动方程、输运方程和稳定场方程 ，大致上对应数学上的双曲型、抛物型和椭圆型偏微分方程。 §7.1 数学物理方程的推导 推导与边界条件无关，仅仅是通过数学语言将物理规律翻译出来。其导出步骤： 首先要确定要确定研究物理量是什么 从研究的系统中划出一个小部分，根据物理规律分析邻近部分和选取的小部分的相互作用，找到与的关联关系。 将物理量的各种关联用数学关系表达出来，化简整理便可得到数学物理方程，例如： 均匀弦的微小横振动 弦的抽象 柔软、没有重量 张力 质点 传播、波 对于质点： 弦在轴上无运动，所以作用在B段上的作用力为零。 弦在轴上的横向加速度记作，所以弦的B段整体受力情况和运动方程分别为： 式中是弦的线密度，即单位长度的质量，为小段B的弧 考虑到小振动 由于 ，所以弦中张力不随而变化。另 即不随时间而变，所以作用在B段的张力不随时间变化，弦中张力与和无关。只能是常数。 两边同时除以 整理得： 因为B段是任选的，所以本方程可以描述弦上的任一点的振动。若 则 若弦在振动过程中还受到外加横向力的作用，单位长度上受力为则 其 均匀杆的纵振动 根据胡克定律得到 其中为杆密度，S为杆的横截面积。用Sdx遍除上式各项，得： 称杆的纵振动方程。 对于均匀杆，Y和是常数，则 其中 对于纵向杆的受迫振动，其方程与弦振动的受迫振动形式上是一样的。不同的是表示的是细杆的每单位长度上每单位横截面所受纵向外力。 扩散方程 由于浓度（单位体积中的分子数或质量）的不均匀，物质从浓度大的地方向浓度小的地方转移，这种现象叫作扩散。扩散现象广泛存在于气体、液体和固体中。 制作半导体器件就常用扩散法。把含有所需杂质的物质涂敷在硅片表面，或者用携带杂质的气体包围着硅片，把硅片放在扩散炉里，杂质就向硅片里面扩散。 扩散运动的方向基本上是垂直于硅片表面而指向硅片深处。这种只沿某一方向进行的扩散叫作一维的扩散。 在扩散问题中研究的是浓度在空间中的分布和在时间中的变化。 扩散运动的起源是浓度的不均匀。浓度的不均匀的程度可用浓度梯度表示。 扩散运动的强弱可用扩散流强度，即单位时间里通过单位横截面积的原子或分子数或质量表示。 根据实验结果，扩散现象遵循的扩散定律即斐克定律是 或写成分量形式 负号表示扩散转移的方向（浓度减小的方向）跟浓度梯度（浓度增大的方向）相反。比例系数D叫作扩散系数。不同物质的扩散系数各不一样。同一物质在不同温度的扩散系数也不同，一般说，温度越高，扩散系数越大。 现在应用扩散定律和粒子数守恒定律（或质量守恒定律）导处三维扩散方程。为此，把空间加以细分，拿x与x+dx之间，y与y+dy之间,z与z+dz之间的小平行六面体为代表加以研究。这个平行六面体里的浓度变化取决于穿过它的表面的扩散流。 先考察单位时间内x方向的扩散流。在左表面，流量是流入平行六面体的；在右表面，流量则是流出的，由于取得很小，，出入相抵。 单位时间内x方向净流入流量= = = 考察y方向、z方向的扩散流，同理可得 单位时间内y方向净流入流量＝ 单位时间内z方向净流入流量＝ 根据粒子数（或质量）守恒定律，如果六面体中没有源和汇（其它物质能转化成这种物质的粒子称为源，这种物质的粒子转化成其它物质称为汇），则平行六面体中单位时间内增加的粒子数＝单位时间内净流入的粒子数，即 　 其中为浓度的时间增长率，即单位时间内平行六面体内增加的粒子数，现得到三维扩散方程 =0 如果扩散