2025年中考数学几何模型归纳训练专题41 圆中的重要模型之隐圆模型（解析版）.docxVIP

专题41圆中的重要模型之隐圆模型

隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动，或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。隐圆常见形式：定点定长、定弦对定角（直角）、同弦（等弦）对等角、对角互补等。题目具体表现为折叠问题、旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模型的相关问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

学习圆的相关知识，不仅仅要充分理解、运用圆的定义和圆的基本性质、圆的对称性、和圆相关的角以及直线和圆的位置关系等相关知识，更要树立“圆”的思想和“圆”的意识，既要关于哪些看得见的圆，更要心领神会哪些看不见的圆--隐圆。

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模型1.隐圆之定点定长模型 2

模型2.隐圆之定弦对定角模型 9

模型3.隐圆之同弦（等弦）对等角模型 22

模型4.隐圆之对角互补模型 23

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模型1.隐圆之定点定长模型

圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点构成的集合．

寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．

若P为动点，且AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径。

通过构造以定点为圆心、定长为半径的圆，可以方便地解决与距离、角度等相关的问题。

例1．（2024·黑龙江大庆·二模）如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上的任意一点（点不与点重合），沿翻折使点落在点处，连接，则线段的长取最小值时，、两点间的距离为．

【答案】

【详解】解：由题意得：，

点在以为圆心，为半径的圆上，作，连接交于点，此时值最小，

，，，解得：，

点是边的中点，；由勾股定理得：，

，，即线段长的最小值是，

连接，过作于，，，，

，，，

，．故答案为：．

例2．（2024·广西玉林·三模）如图，在矩形中，，，点E、F分别是边上的动点，且，点G是的中点，连结，则四边形面积的最小值为（????）

A．142 B．96 C．192 D．124

【答案】A

【详解】解：连接，过B作于H，以B为圆心，为半径作圆，交于，如图：

∵四边形是矩形，∴，∵，点G是的中点，∴，

∴G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到时，最小，此时四边形面积最小，最小值即为四边形的面积，∵，∴，

∴，∴，∴，

∴，即四边形面积的最小值是142．故选：A．

例3．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（????）

??

A． B． C．2 D．1

【答案】D

【详解】解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示：

??

∵四边形是矩形，∴，，，

∴在中，，∴，

∵，，在与中，

，，，，共线，

，是中点，∴在中，，

的轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧．

∴的最大值为的长，即．故选：D．

例4．（2024·四川成都·三模）如图，是等腰直角三角形，，若，是中点，则的最小值为．

【答案】/

【详解】延长到，使，连接，，

过作，并截取，连接，，在中，，，

在中，，，

，，，

，，，，

点在以为圆心，为半径作的圆上，连接交圆上于点，如图所示；的最小值，

在中，，

，的最小值为：．故答案为：．

模型2.隐圆之定弦对定角模型

1）若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，则点C的轨迹是以AB为弦的圆的一部分。

应用：通过构造定弦定角模型，可以将问题转化为圆的问题，从而利用圆的性质进行求解。

2）在圆中，直径所对的圆周角为直角；反之，若一个角为直角，则其顶点在以这个角的两边为直径的圆上。

应用：当题目中出现直角条件时，可以考虑构造以直角两边为直径的圆，从而利用圆的性质解决问题。

1）固定线段AB所对动角∠C恒定值，则动点C的轨迹为经过A、B、C三点的圆。

2）特别地，若∠C为直角，则动点C的轨迹为以AB为直径的圆。

?定弦对定角?：给定一个固定线段（弦）和该弦所对的固定角度，可以根据圆的知识确定满足条件的点位于

以一定点为圆心、定线段为半径的圆上。

?直角所对的是直径?：如果一个角是直角，且该角所对的线段是某圆的直径，那么可以根据此性质确定其他点与该圆的关系。

例1．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值．

【答案】/

【详解】解：连接，由以为直径作，，，得，，

得动点在以中点为圆心，2为半径的圆上运动，当，，在一直线上时，，