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“一线三等角”的妙用 绍兴县马鞍镇中学 陈迎阳 学习三角形相似形时，我们从复杂图形中分离出基本数学模型，对解决问题有化繁为简的效果。在近几年的中考题中，经常可以看到“一线三等角”的数学模型，本文将重点对这一基本图形进行探讨。 基本图形：如图1，当∠ABC＝∠ACE＝∠CDE，显然有△ABC∽△CDE。 这一基本图形往往存在于一些特殊的图形中，主要有三种常见的三种形式： （如图1） 如图2，在等边三角形ABC中，∠EDF＝600，则△AED∽△BDF。 如图3，在矩形ABCD中，若∠DEF＝900，则△AED∽△BEF。 如图4，在等腰梯形ABCD中，若∠B＝∠D＝∠AEC，则△AEB∽△ECD。 例题1（2009年安徽）：如图5，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．α＝45°，AB＝，AF＝3，求FG的长．．．α＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC ∵M为AB的中点，∴AM＝BM 又∵AMF∽△BGM，∴ 又，∴， ∴ 分析：本题关键是通过“一线三α角”数学模型，快速得到一对相似三角形，即：△AMF∽△BGM。 例题2：（2006湖南常德）把两块全等的直角三角形和叠放在一起，使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合，其中，，，把三角板固定不动，让三角板绕点旋转，设射线与射线相交于点，射线与线段相交于点． （1）如图9，当射线经过点，即点与点重合时，易证．此时，　　　　　　．（2分） （2）将三角板由图6所示的位置绕点沿逆时针方向旋转，设旋转角为．其中 ，问的值是否改变？说明你的理由．（5分） 解析：（1）8 　　（2）的值不会改变． 　　理由如下：在与中， 　　 　　 　　即 5分 　　 7分 分析：本题关键是通过“一线三45角”这一数学模型，从两个全等三角形到两个相似三角形，问题解决的突破口是分离出基本图形。 例题3（2009湖南襄樊） 如图7，在梯形中，点是的中点，是等边三角形． （1）求证：梯形是等腰梯形； （2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变．设求与的函数关系式； 解析：（1）证明：∵是等边三角形 ∴ ∵是中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴梯形是等腰梯形． （2）解：在等边中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 分析：本题关键是通过“一线三60角”这一数学模型，发现 ，从而得到与的函数关系式； 例题4：（株洲市2011年）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点，两直角边与该抛物线交于、两点，请解答以下问题： （1）若测得（如图1），求的值； （2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点旋转到如图2所示位置时，过作轴于点，测得，写出此时点的坐标，并求点的横坐标； （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点旋转任意角度时惊奇地发现，交点、的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标． 解析：（1）设线段与轴的交点为，由抛物线的对称性可得为中点， ，， ，(，) 将(，)代入抛物线得，. （2）过点作轴于点， 点的横坐标为， (1，)， . 又 ，易知，又， △∽△， 设点（，）（），则，， ，即点的横坐标为. （3）设（，）（），（，）（）， 设直线的解析式为：， 则，……… 7分 得，，[来源:学。科。网Z。X。X。K] 又易知△∽△，，， .由此可知不论为何值，直线恒过点（，） 分析：此题利用了“一线三直角”这一数学模型，易证得相似，从而得到线段的比例关系，本题是应用几何知识求函数知识的综合题，关键仍是这一数学基本模型。 “一线三等角”的应用实际上是数学建模的其中一种形式,《数学课程标准》指出，数学教学要让学生亲自经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。培养学生解决数学问题的能力，关键是培养学生数学建模的能力，对提高学生学数学兴趣，培养创新精神，具有十分重要的意义，这需要我们采用正确的方法加以引导。 M P B C D A A B M F G D E C Ｅ Ｐ 60° 图