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导数的几何意义 教学目标 掌握切线斜率由割线斜率的无限逼近而得，掌握切线斜率的求法． 教学重点，难点 （1）能体会曲线上一点附近的“局部以直代曲”的核心思想方法； （2）会求曲线上一点处的切线斜率． 教学过程 一、问题情境 1．情境：设是曲线上的一点，将点附近的曲线放大、再放大，则点附近将逼近一条确定 的直线． 2．问题：怎样找到在曲线上的一点处最逼曲线的直线呢？ 二、学生活动 如上图直线为经过曲线上一点的两条直线． （1）判断哪一条直线在点附近更加逼近曲线． （2）在点附近能作出一条比更加逼近曲线 的直线吗？ （3）在点附近能作出一条比更加逼近曲线的直线吗？ 三、建构数学 1．割线及其斜率：连结曲线上的两点的直线叫曲线的割线， 设曲线上的一点，过点的一条割线交曲线于另一点，则割线的斜率为 ． 2． 切线的定义：随着点沿着曲线向点运动，割线在点附近越来越逼近曲线。当点无限逼近点时，直线最终就成为在点处最逼近曲线的直线，这条直线也称为曲线在点处的切线； 3． 切线的斜率：当点沿着曲线向点运动，并无限靠近点时，割线逼近点处的切线，从而割线的斜率逼近切线的斜率，即当无限趋近于时，无限趋近于点处的切线的斜率． 四、数学运用 1．例题： 例1．已知曲线， （1）判断曲线在点处是否有切线，如果有，求切线的斜率，然后写出切线的方程． （2）求曲线在处的切线斜率。 分析：（1）若是曲线上点附近的一点，当沿着曲线无限接近点时，割线的斜率是否无限接近于一个常数．若有，则这个常数是曲线在点处的切线的斜率；（2）为求得过点的切线斜率，我们从经过点的任意一点直线（割线）入手。 解：（1）在曲线上点附近的取一点，设点的横坐标为， 则函数的增量为， ∴割线的斜率为， ∴当无限趋近于时，无限趋近于常数2， ∴曲线在点处有切线，且切线的斜率为， ∴所求切线方程是，即． （2）设，，则割线的斜率为 当无限趋近于时，无限趋近于常数4，从而曲线在点处切线的斜率为。 例2．已知，求曲线在处的切线的斜率． 分析：为了求过点的切线的斜率，要从经过点的任意一条割线入手． 解：设，，则割线的斜率： ． 当无限趋近于时，无限趋近于常数1， ∴曲线在点处有切线，且切线的斜率为． 例3．已知曲线方程，求曲线在处的切线方程． 解：设是点附近的一点， ． 当无限趋近于时，无限趋近于常数1，∴曲线在点处有切线，且切线的斜率为． 所求直线方程：． 2．练习：练习 第 1，2，3题；习题 第 3题． 五．回顾小结： 1．小结：1．求切线斜率一般步骤是：①求函数增量与自变量增量的比； ②判断当无限趋近于时，是否无限趋近于一常数；③求出这个常数． 六．课外作业： 补充：判断曲线在点处是否有切线？如果有，求出切线的方程． 第 1 页 共 4 页