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随机模拟方法与应用 Stochastic Simulation Methods and Its Applications 肖柳青 博士 lucyxiao@sjtu.edu.cn PUB:SSMA_xiao@yeah.net 第1 章认识随机模拟 1.1 一个简单例子 1.2 模拟建模方法和环节 随机系统? •系统运行的性能却取决于其输入或者 环境的变化情况，然而那些变化情况 并不是确定性的而是随机的，我们称 这样的系统是随机系统。 •广义的，譬如某个自然系统、一个技术装 置，一个服务系统、一个经济系统、一个 投资项目、一个金融产品等等，而运行指 的是它们状态的演化或者变化的情况。 1.1 一个简单例子 • 例1.1. 让我们考虑一个由充电电池构成的供电系 统，它是某种便携电子设备（如照相机）的电源。 假设共有两个电池和一个充电器，其中仅一个被用 来给设备供电，另一个备用。 • 由于设备使用的频繁性不确定导致耗电量是随机的 ：设电池的耗尽时间等可能地是1、2、3、4、5或 者6个小时这六种情况之一，即是随机的；而用完 电的电池从被换下到充满电待用的时间是2.5个小 时（为了保护电池的使用性能和寿命，每次电池充 电需充满）。 • 我们要问该设备能够持续工作的时间是多少 ？ 系统的运行逻辑很简单! • 很显然这是一个随机系统，它的输入是 电池的随机耗尽时间。系统的运行逻辑 很简单，一旦电池的电被用尽后即换一 个备用的，只要备用的已被冲好电；这 样一直到身边无备用电池可换时设备才 停止使用。 • 我们要评估的系统性能指标是设备的持 续工作时间或者停止时间有多长？ 系统的数学模型 • t ：系统中t 时刻可用的电池数（包括正在使 用的）称它为系统的状态变量； • ：表示第次发生在更换电池的随机事件时间 点或者备用电池被冲好电的时间点； • ：当第次使得系统状态变成0随机事件发 生的时间点，则此刻就是系统的持续工作时间 或者停止时间，这是我们关心的系统输出值。 • 显然，系统在初始时为：0 = 0, 0 = 2 ； • ：随机数 • 为了模拟这个系统的运行，我们还需要 生成这些随机的输入，即随机的电池耗 尽时间。由于耗尽时间恰好是1到6等可 能性地出现的随机数，我们想到可以使 用平时玩游戏中扔的骰子，其1到6个数 字也是等可能性地出现。我们就采用扔 骰子的方式来模拟这里电池的电被耗尽 的随机时间，我们将扔骰子看作是随机 数发生器，出现的随机数记为。 设备持续工作时间的模拟 • 上面仅仅是做了一轮的模拟结果，即做了 一次随机试验，这明显是缺乏说服力的， 我们应该重复大量地做随机试验，这样得 到的输出的数据序列当然也是随机的。 • 要求每次试验是独立的！ • 总的试验轮数称为样本容量，记为； • 总体 • 随机抽样 • 观察数据 • 样本路径 • 样本路径：{1, 2, · · · } • 个观测数据：1, 2, · · · , ， • 样本平均： 随机模拟方法的基本步骤： • (1) 描述系统（简化）：分析并说明清楚被模拟的系统：系统 的输入、状态和输出，发生的随机事件是什么？这里必要对实 际系统作一些简化； • (2) 设置变量（定量化）：为系统的输入、状态和输出设置相 应的变量，并设定某种类型的随机数对应于随机事件； • (3) 运行规则：写出系统运行的基本逻辑：系统状态是如何变 化的，即状态是如何更新的，那种类型的随机数如何产生的； • (4) 模拟系统：给定系统的初始状况，开始模拟系统的运行， 给出系统的输出； • (5) 抽样与统计：大量地重复上面的模拟试验，对结果进行统 计，如求输出的样本平均； • (6) 解释结果：解释所得到的模拟结果；必要时改变前面的某 些设定重新进行模拟试验，并比较结果。 1.2 模拟过程的主要环节 模拟建模的五