第二十四章解直角三角形能力培优.doc

第二十四章 解直角三角形 241 锐角的三角函数 242 锐角的三角函数值 专题一 与锐角三角函数定义有关的综合 1．已知a，b，c是△ABC的三边，a，b，c满足等式b2（ca）（ca），且5b4c＝0，求sinAsinB的值． 2．已知△ABC的一边AC为关于x的一元二次方程x2mx＋4＝0的两个正整数根之一，且另两边长为BC4，AB6，求cosA． 3．如图，矩形ABCD中AB＝10，BC8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE． 专题二 三角函数性质的运用 4．若0°＜α＜60°，且sin（60°α），则cos（30°α） ． 5．已知α为锐角，下列结论①sin2αcos2α＝l；②如果α＞45°，那么sinα＞cosα；③如果cosα＞，那么α＜60°；④1－sinα．正确的有 （填序号）6．如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．（1）若∠EBP40°，∠FBP20°，PBm，试比较PE、PF的大小；（2）若∠EBPα，∠FBPβ，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并证明． 专题三 综合运用特殊锐角的三角函数值 7．在△ABC中，若∠A、∠B满足（sinB）20，则∠C ． 8．已知直角三角形两个锐角的正弦sinA，sinB是方程2x22x＋1＝0的两个根，求∠A，∠B的度数． 9．已知：x2cos45°＋1，y－1，求（xy）2014的值． 状元笔记 【知识要点】 1锐角三角函数： 230°、45°、60°角的三角函数值 3．正弦、正切值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小 4．任意锐角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）弦值即：当∠A＋∠B＝90°时，有sinA＝cosB，cosA＝sinB． 【温馨提示】 1锐角的三角函数值都是正实数，而且0sinA1，0cosA1． 2三角函数的实质是一个比值，这些比值只与锐角的大小有关，与三角的边长无关 3．sinA、cosA、tanA是一个整体符号，不能理解为相乘的关系，即不是sin·A 4．虽然锐角三角函数是在Rt△中定义的，但当锐角不在一个Rt△中时，它的函数值也存在． 5记准、记熟特殊角的三角函数值是做对含有特殊角三角函数计算题的保证．一要看清三角函数符号，二要记牢特殊值并确认，必要时可借助图形推求出特殊角的三角函数值． 【方法技巧】 1写三角函数比值式时，对照图形，找准边角关系． 2常利用已知函数值设边（按比例设），结合勾股定理，求出第三边的代数表达式，再根据三角函数的定义解决问题． 3等角代换——相等的角正弦(或余弦、正切)值相等． 4非直角三角形可通过作高（或垂线），以转化为直角三角形． 参考答案： 1．解：∵b2（ca）（ca），∴b2c2－a2，即：a2b2＝c2，∴△ABC是以c为斜边的Rt△．∵5b4c＝0，∴． 设b4k，则c5k，∴△ABC中，a3k，∴sinAsinB＝＋＝＋＝． 2．解：根据与系数的关系可知：x1?x24． 又∵x1、x2为正整数解，∴x1，x2可为1、4或2、2，又∵BC4，AB6，∴2＜AC＜10，∴AC＝4，∴ACBC＝4，△ABC为等腰三角形．如图，过点C作CD⊥AB，∴AD＝3， cosA＝． 3．解：根据图形有：∠AFE∠EFC＋∠BFC＝180°，根据折叠的性质，∠EFC∠EDC＝90°，即∠AFE∠BFC＝90°，而Rt△BCF中，有∠BCF∠BFC＝90°，易得∠AFE∠BCF．在Rt△BFC，根据折叠的性质，有CFCD，在Rt△BFC中，BC8，CFCD＝10，由勾股定理易得：BF6，则tan∠BCF， 故有tan∠AFEtan∠BCF＝．答：tan∠AFE． 4． [解析] ∵60°α＋30°＋α＝90°，且0°＜α＜60°， ∴cos（30°α）sin（60°α）．5．①②③④ [解析] ①根据同角的三角函数之间的关系可得：sin2αcos2α＝l； ②∵α＞45°，∴90°α＜α，而cosαsin（90°α），∴sinα＞sin（90°α），即sinα＞cosα③∵cosα＞cos60°，∴α＜60°④∵sinα≤1，∴sinα1≤0，∴|sinα－1|＝1－sinα． 6．解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP＝sin40°，在Rt△BPF中，sin∠FBP＝sin20°，又sin40°＞sin20°，∴PE＞PF（2）PE＞PF．根据（1）得sin∠EBP＝sinα，sin∠FBP＝sinβ，又∵α＞β，∴sinα＞sinβ，∴PE＞PF． 7．75° [解析] 由已知得co