专题5　恒成立问题.pptVIP

* 专题五 恒成立问题 专题五　恒成立问题 主干知识整合 专题五 │ 主干知识整合 专题五│ 主干知识整合 要点热点探究 专题五 │ 要点热点探究 专题五 │ 要点热点探究 专题五 │ 要点热点探究 专题五 │ 要点热点探究 专题五 │ 要点热点探究 专题五 │ 要点热点探究 专题五│ 要点热点探究 专题五│ 要点热点探究 专题五 │ 要点热点探究 专题五│ 要点热点探究 专题五│ 要点热点探究 * 1．在代数综合问题中常遇到恒成立问题．恒成立问题涉及常见函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合法等解题方法求解． 2．恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： (1)x∈D，f(x)C；(2)x∈D，f(x)g(x)； (3)x1，x2D，|f(x1)－f(x2)|≤C； (4)x1，x2D，|f(x1)－f(x2)|≤a|x1－x2|. 3．不等式恒成立问题的处理方法 (1)转换求函数的最值 若不等式Af(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上Af(x)minf(x)的下界大于A. 若不等式Bf(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上Bf(x)maxf(x)的上界小于B. (2)分离参数法 将参数与变量分离，即化为g(λ)≥f(x)(或g(λ)≤f(x))恒成立的形式； 求f(x)在xD上的最大(或最小)值； 解不等式g(λ)≥f(x)max(或g(λ)≤f(x)min)，得λ的取值范围． (3)转换成函数图象问题 若不等式f(x)g(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数y＝f(x)和图象在函数y＝g(x)图象上方； 若不等式f(x)g(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数y＝f(x)和图象在函数y＝g(x)图象下方． 对于形如x∈D，f(x)g(x)的问题，需要先设函数y＝f(x)－g(x)，再转化为x∈D，ymin0. 例1 已知函数f(x)＝x|x－a|＋2x. (1)若函数f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围； (2)求所有的实数a，使得对任意x[1,2]时，函数f(x)的图象恒在函数g(x)＝2x＋1图象的下方． ?　探究点一 ?x∈D，f(x)g(x)的研究 【解答】 (1)f(x)＝x|x－a|＋2x＝ 由f(x)在R上是增函数，则即－2≤a≤2， 故a的取值范围为－2≤a≤2. (2)由题意得对任意的实数x[1,2]，f(x)g(x)恒成立，即x|x－a|1在[1,2]恒成立，也即x－ax＋在[1,2]恒成立， 故当x[1,2]时，只要x－的最大值小于a且x＋的最小值大于a即可， 而当x[1,2]时，′＝1＋0，从而x－为增函数，由此得max＝； 当x[1,2]时，′＝1－0，从而x＋为增函数，由此得min＝2， 所以a2. 【点评】 在处理f(x)c的恒成立问题时，如果函数f(x)含有参数，一般有两种处理方法：一是参数分离，将含参数函数转化为不含参数的函数，再求出最值即可；二是如果不能参数分离，可以用分类讨论处理函数f(x)的最值． 已知f(x)＝x3－6ax2＋9a2x(aR)，当a0时，若对x∈[0,3]有f(x)≤4恒成立，求实数a的取值范围． 【解答】 f′(x)＝3x2－12ax＋9a2＝3(x－a)(x－3a)，故f(x)在(0，a)上单调递增，在(a,3a)上单调递减，在(3a，＋∞)上单调递增． (1)当a≥3时，函数f(x)在[0,3]上递增， 所以函数f(x)在[0,3]上的最大值是f(3)， 若对x∈[0,3]有f(x)≤4恒成立，需要有解得a. (2)当1≤a3时，有a3≤3a，此时函数f(x)在[0，a]上递增，在[a,3]上递减，所以函数f(x)在[0,3]上的最大值是f(a)，若对x∈[0,3]有f(x)≤4恒成立，需要有解得a＝1. (3)当a1时，有33a，此时函数f(x)在[a,3a]上递减，在[3a,3]上递增，所以函数f(x)在[0,3]上的最大值是f(a)或者是f(3)．由f(a)－f(3)＝(a－3)2(4a－3)， 0a≤时，f(a)≤f(3)，若对x∈[0,3]有f(x)≤4恒成立，需要有 解得a. ②a1时，f(a)f(3)， 若对x∈[0,3]有f(x)≤4恒成立，需要有 解得a.综上所述，a. 对于形如x1，x2D，|f(x1)－f(x2)|≤C的问题，因为|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min，所以原命题等价为f(x)max－f(x)min≤C. 例2 已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x(a，bR)，在点(1，f(1))处的切线方程为y＋2＝0. (1)求函