不等式恒成立问题2 42.pptVIP

* 平罗中学 石占军 例1. 设 ，若f(x)0恒成立，求实数a的取值范围。 例2. 设 ，若f(x)0在区间[-1,+∞）成立，求实数a的取值范围。 解： ，抛物线的对称轴方程为x=a. (1)当a-1时，对称轴 x=a位于区间[-1,+∞）的左侧， 即函数f(x)在区间 [-1,+∞）上单调递增，故当x=-1时， f(x)有最小值f(-1). 依题意，得 ，即 ，解得-3a1. (2)当a≥-1时，对称轴x=a位于区间[-1,+∞）内， 故当x=a时， f(x)有最小值f(a), 依题意，得 ，即 ，解得-1≤a1 综上可知，a的取值范围是（-3,1）. 例3 设 ，若f(x)0在x∈[0,2] 内 恒成立，求实数a的取值范围。 解：由 ，得 ， 又0≤ x≤ 2，则2x+10,故原恒成立问题转化为 在区间 [0,2] 上恒成立问题。令 ，则求得g(x)的最小值即可。 令2x+1=t，则 x= ,且1≤ t≤ 5,于是 当且仅当 ，即t=3,x=1时，等号成立。 所以g(x)min=1,故a的取值范围是(-∞，1）。 例4 若不等式 对所有的a∈[0,2] 都成立，求实数x的取值范围。 解：令 ，因为g(a)的图象是一条直线， 要使 在a∈[0,2]上恒成立，只要 ，解得x0或x4。 所以实数x的取值范围是(-∞，0 ) ∪ (4，+∞)。 例3. 设 ，若f(x)0在x∈[0,2] 内 恒成立，求实数a的取值范围。 例5. 当x∈(1,2) 时，不等式 恒成立，求实数a的取值范围。 y x 0 1 1 2 解：设 ，则y1的图象为右图所示的抛物线，要使一切x∈ (1,2)， y1y2恒成立，则要求在区间(1,2)上对数函数 的图象要位于二次函数 图象的上方。显然a1，并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值1. 故令㏒a2≥1,即㏒a2 ≥ ㏒aa,又a 1,所以1a≤2. 故实数a的取值范围是(1,2]。 * *