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信号与系统 第五章 连续系统的 s 域分析 5.1 拉普拉斯变换 傅里叶变换的局限 对某些信号计算困难，如 ； 某些信号的傅里叶变换不存在，如 eat (a 0)。 引入衰减因子后傅里叶变换 引入衰减因子后的傅里叶变换 引入衰减因子后的傅里叶逆变换 拉普拉斯变换的定义 　　令　　　　　，于是 　　这两个式子称为双边拉普拉斯变换对，或复傅里叶变换对。 　　Fb(s) 为 f (t) 的双边拉普拉斯变换，或象函数； 　　 f (t) 称为Fb(s)的双边拉普拉斯逆变换，或原函数。 拉普拉斯变换的收敛域 一般情况下，拉普拉斯积分不会对所有的 s 值都存在。 使得拉普拉斯积分存在的所有 s 值的集合为拉普拉斯变换的收敛域。 不同的时间信号可能会有相同的拉普拉斯变换的表达式，这时它们的收敛域是不同的。 一个拉普拉斯变换的完整表示： 　　表达式＋收敛域 因果信号的收敛域 　　观察因果信号 其拉普拉斯变换为　　 反因果信号的收敛域 　　观察反因果信号 其拉普拉斯变换为　　 双边信号的收敛域 　　观察双边信号 其拉普拉斯变换为　　 单边拉普拉斯的定义 单边拉普拉斯变换的定义 单边拉普拉斯逆变换的定义　 单边拉普拉斯变换对 拉普拉斯变换存在的条件 第一条件 　　信号 f (t) 在有限区间 (a, b) 内可积，即 其中 0 ≤ a b ∞ 第二条件 　　对于某个　有 拉普拉斯变换存在条件举例说明 　　信号 　　由于 故满足第一条件。又 故满足第二条件。 　　因此，该函数的拉普拉斯变换存在。 拉普拉斯变换存在条件举例说明 　　信号 　　由于 故不满足第一条件，所以其拉普拉斯变换不存在。 矩形脉冲信号的象函数 　　 该信号显然满足拉普拉斯变换存在的条件。 冲激信号的象函数 冲激函数的象函数 复指数函数的象函数 　　复指数信号 其拉普拉斯变换为 5.2 拉普拉斯变换的性质：线性 　　若 则有 正弦函数的拉普拉斯变换 　　 拉普拉斯变换的性质：尺度变换 　　若 则（a 0） 其收敛域为　 拉普拉斯变换的性质：延时特性 　　若 则 信号自变量的线性变换 　　若 则 矩形脉冲信号的拉普拉斯变换 注：阶跃函数的拉普拉斯变换的收敛域为　　　　， 　　而矩形脉冲信号的拉普拉斯变换的收敛域为 　　　　　　　。这说明两个信号之和的拉普拉斯变 　　换的收敛域有可能扩大 拉普拉斯变换的性质：复频移特性 　　若 且有复常数　　　　　　，则 衰减正弦信号的拉普拉斯变换 衰减正弦信号 衰减余弦信号 例：尺度变换、时移、复频移 　　已知　　 求　　　　　的象函数。 解： 拉普拉斯变换的性质：时域微分定理 　　若 则 证： 对于单边拉普拉斯变换而言， 不同的时间信号可能会有相同的象函数； 象函数相同的时间信号的导数可能会有不同的象函数。 高阶导数的情况 一阶导数 二阶导数 n 阶导数　　 例：时域微分性质 　　已知 求　　　　的象函数。 解： 拉普拉斯变换的性质：时域积分定理 　　若 则 证： 多重积分的情况 一次积分 两次积分 n 重积分 时域积分的另一种情形 　　若 则 证： 多重积分的情况 一次积分 两次积分 n 重积分 例：三角形脉冲的象函数 例：三角形脉冲的象函数（续） 拉普拉斯变换的性质：时域卷积定理 　　若 则 　　其收敛域至少是 F1(s) 收敛域与 F2(s) 收敛域的共同部分。 时域卷积定理的证明 拉普拉斯变换的性质：复频域卷积定理 　　若 则 其收敛域为 积分路径 例：卷积定理 已知 　　　　　　　　， 求 　。 解： 拉普拉斯变换的性质：复频域微分 　　若 则 证： 多阶微分 一阶微分 二阶微分 n 阶微分 拉普拉斯变换的性质：复频域积分 　　若 则 证： 例：复频域微分 　　求函数　　　　的象函数。 解： 拉普拉斯变换的性质：初值定理 　　若函数 f (t) 不包含 δ(t) 及其各阶导数，且 则 证： 拉普拉斯变换的性质：终值定理 　　若　　　　　　　　　　　　　　，且极限 存在，则 证： 5.3 拉普拉斯逆变换 拉普拉斯逆变换的数学表达式为 积分路径 　　横坐标为 σ 、平行于纵轴且位于收敛域的直线。 求逆变换的方法 查表法 部分分式展开法　 象函数的一般形式 象函数为线性多项式之比 　　系数　　　　　　和　　　　　　　均为实数。 真分式和假分式 当 m n 时，象函数为真分式 当 m ≥ n 时，象函数可分解为多项式与真分式之和 例1：查