《信号与系统》第2章.pptVIP

信号与系统 第二章 连续系统的时域分析 2.1 LTI 连续系统的响应 　　单输入-单输出 LTI 系统的激励与响应的关系可用 n 阶常系数线性微分方程描述。 2.1.1 微分方程的经典解 微分方程的全解由两部分构成： 　　　齐次解：yh(t) 　　　　特解：yp(t) 　　　　全解：y(t) = yh(t) + yp(t) 齐次解由系统结构决定 特解由系统的激励决定 微分方程的齐次解 齐次微分方程 由此求得的解为微分方程的齐次解。 　 单根与重根 n 个单根 r 重根 一个 r 重根，n – r 个单根 共轭复根 共轭复根与实根解的形式本质上是一样的。 共轭复根 　　若微分方程的系数均为实数，则特征方程的复数根必共扼成对出现： 一对共轭复根解的形式： r 重共轭复根解的形式： 微分方程的特解 激励为指数函数 eαt 时，特解为 若有 r 重等于 α 的特征根，则特解为 微分方程经典解小结 关于齐次解： 解的一般形式为指数函数； 若有多重特征根，则解为多项式与指数函数相乘； 复根与实根的本质是相同的。 关于特解： 激励的形式主要有两种：指数函数与多项式； 相应的响应也有两种形式：指数函数与多项式； 当与特征根相重时，乘一多项式。 关于全解： 解的最根本形式为多项式与指数函数相乘； 所有待定系数由系统的初始条件确定。 例1：微分方程经典解 　　某 LTI 系统的微分方程及输入和初始条件分别为 求系统的齐次解、特解和全解。 解： 　　特征方程： 　　　特征根： 　　　齐次解： 　　　　特解： 例1：微分方程经典解（续） 　　确定 P：将 yp(t) = Pe –3t 代入微分方程 　　　特解： 　　　全解： 确定C1和C2： 　　　全解： 例2：微分方程经典解 　　某 LTI 系统的微分方程及输入和初始条件分别为 求系统的齐次解、特解和全解。 例2：微分方程经典解（续） 　　确定 P：将 yp(t) = Pe –t 代入微分方程 　　　特解： 　　　全解： 确定C1和C2： 　　　全解： 例3：微分方程经典解 　　某 LTI 系统的微分方程及输入和初始条件分别为 求系统的齐次解、特解和全解。 解： 　　特征方程： 　　　特征根： 　　　齐次解： 　　　　特解： 例3：微分方程经典解（续） 　　确定 P：将 yp(t) = P 代入微分方程 　　　特解： 　　　全解： 确定 A 和 θ ： 例3：微分方程经典解（再续） 求解 A 和 θ ： 　　　 　　　全解： 例3的另一种求解方法 　　特征根： 　　齐次解： 　　　特解： 　　　全解： 确定C1和C2： 例3的另一种求解方法（续） 齐次解： 　全解： 　结论：共轭复根与实根的解本质上是相同的。 例3的再一种求解方法 　　特征根： 　　齐次解： 　　　特解： 　　　全解： 确定C1和C2： 　　　全解： 例4：微分方程经典解 　　某 LTI 系统的微分方程及输入和初始条件分别为 求系统的齐次解、特解和全解。 解： 　　特征方程： 　　　特征根： 　　　齐次解： 　　　　特解： 例4：微分方程经典解（续） 确定P1和P0：将 yp(t) = (P1t + P0)e – t 代入微分方程 　　　特解： 　　 例4：微分方程经典解（再续） 　　　全解： 确定C1和C2： 　　　全解： 　　　　注：无法区分自由响应和强迫响应。 例5：微分方程经典解 　　某 LTI 系统的微分方程及输入和初始条件分别为 求系统的齐次解、特解和全解。 解： 　　特征方程： 　　　特征根： 　　　齐次解： 　　　　特解： 例5：微分方程经典解（续） 确定 P 和 θ ：将 代入微分方程 　　　 例5：微分方程经典解（再续） 　　　全解： 确定C1和C2： 　　　全解： 初始状态与初始条件 初始状态：系统的激励尚未接入时的系统输出，即 　初始状态反映了系统以往的全部历史信息。通常初始状态比较容易得到。 初始条件：用经典方法求解微分方程时所需的边界条件，即 　初始条件反映了系统接入激励瞬间的系统输出。 若方程的右端没有冲激或其导数时，t = 0 处不会发生跃变，即连续；否则会发生跃变。 当微分方程右端出现 δ(t) 时… 　　某 LTI 系统的微分方程及输入和初始状态分别为 　　 　　在求该方程的特解时，无法确定解的形式。 例6：当微分方程右端出现 δ(t) 时 　　某 LTI 系统的微分方程及输入和初始状态分别为 求系统的初始条件及齐次解、特解和全解。 解： 　　将输入信号代入