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信号与系统 第八章 系统的状态变量分析 比较两种分析方法 输入—输出分析方法 状态变量分析方法 8.1 状态方程 8.1.1 状态变量和状态方程 8.1.2 动态方程的一般形式 状态方程+输出方程=动态方程=系统方程 8.1.2 动态方程的一般形式 8.1.2 动态方程的一般形式 系统的输出方程为： 8.1.2 动态方程的一般形式 8.2 建立状态方程 建立状态方程大致有两条途径： （1）直接由物理系统建立状态方程和输出方程； 如：电路系统、机械（元件）系统、热系统等。 （2）由系统函数、信号流图等建立状态方程和输出方程。 8.2 建立状态方程 8.2 建立状态方程 建立状态方程大致有两条途径： （1）直接由物理系统建立状态方程和输出方程； 如：电路系统、机械（元件）系统、热系统等。 （2）由系统函数、信号流图等建立状态方程和输出方程。 8.3 连续系统状态方程求解 连续系统动态方程的一般形式 x(t) 为 n 维状态矢量 f (t) 为 p 维输入矢量 y (t) 为 q 维输出矢量 An×n、Bn×p、Cq×n 和 Dq×p 为系数矩阵 状态方程求解方法 时域解 变换解 8.3.1 状态方程的时域解 状态方程求解 8.3.1 状态方程的时域解 状态转移矩阵 定义 性质 ? (t) 和 A 均为 n×n 的矩阵；　 ? (0) = I ； ? (t ?t1) = ? (t ?t0) ? (t0?t1) ； 　 ? ?1(t) = ? (?t)。 8.3.1 状态方程的时域解 状态方程的解 输出方程 8.3.1 状态方程的时域解 单位冲激矩阵 用冲激矩阵表示输入矢量 8.3.1 状态方程的时域解 冲激响应矩阵 8.3.1 状态方程的时域解 冲激响应矩阵的含意 8.3.2 状态方程的变换解 状态方程求解 8.3.2 状态方程的变换解 状态方程的解 输出方程 8.3.2 状态方程的变换解 系统函数矩阵 矩阵 矩阵 设 A 是 m×n 矩阵 转置矩阵 A的转置矩阵，记为AT 逆矩阵 逆矩阵的定义 设n×n阶矩阵A秩为n，即非奇异（满秩），即detA非零， 则存在n×n阶逆矩阵B，使得AB=BA=I，记为A-1。 行列式 方阵A的行列式记为detA。如： 逆矩阵 余子式Mij Mij是从A中删除第i行第j列后，所得(n-1)×(n-1)阶子矩阵的行列式。 代数余子式Aij=(-1)(i+j) Mij 逆矩阵 伴随矩阵adjA 逆矩阵 A的逆矩阵等于A的伴随矩阵除以A的行列式。 特征矩阵与矩阵函数 特征值和特征矢量 　　　设 A 是 n×n 矩阵　　 特征矩阵与矩阵函数 特征矩阵、特征多项式和特征方程 　　　　　A x = ? x 　　　　　(A ? ? I) x = 0 　因 x ? 0，故 det (A ? ? I) = 0 (A ? ? I ) 称为 A 的特征矩阵； p(?) = det (A ? ? I ) 为 ? 的 n 阶多项式，称为 A 的特征多项式； p(?) = det (A ? ? I ) = 0 为 A 的特征方程。 ? 为 A 的根，故特征值也称为特征根。 特征矩阵与矩阵函数 实例 特征矩阵与矩阵函数 凯莱-哈密顿定理 　　　任何 n×n 矩阵 A 恒满足其自身特征方程，即 　　　　　p(A) = 0　　　 p(?) = 0 验证 特征矩阵与矩阵函数 凯莱-哈密顿定理推论1 验证 特征矩阵与矩阵函数 凯莱-哈密顿定理推论2 　　　任意 n×n 矩阵 A 的任意次幂均可用低于 n 的各次幂的线性叠加表示。 实例 特征矩阵与矩阵函数 矩阵函数定理 　　　任意 n×n 矩阵 A 的函数 g(A) 均可用 (n ? 1) 阶的 A 的多项式表示，即 特征矩阵与矩阵函数 矩阵指数函数 指数函数 矩阵指数函数 状态转移矩阵 特征矩阵与矩阵函数 化 eAt 为 A 的多项式 两式中的 a0, a1, L, an?1 分别相等； a0, a1, L, an?1 均为时间的函数； n 个特征根 ?1, ?2, L, ?n 构成n 个方程 特征矩阵与矩阵函数 特征矩阵与矩阵函数 特征矩阵与矩阵函数 特征矩阵与矩阵函数 当特征根有 r 重根时 　　　 特征矩阵与矩阵函数 设矩阵A的特征值为 分别代入下式： 可得系统系数 ： 进一步可得到： 状态转移矩阵的求解 8.3.1 状态方程的时域解 例：已知某LTI系统得状态方程为： 求系统的状态转移矩阵 。 解：对照状态方程： 可知： (1) 求A的特征值 特征多项式 则特征值 (2) 求常系