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运 筹 学 主 讲 教 师 李 时 第一章 线性规划与单纯形法 §6 线性规划应用举例 由于线性规划的理论与计算方法比较成熟，所以，对具体问题，只要能建立起线性规划模型，计算是不成问题的，重要的是建立模型。根据实际问题建立线性规划数学模型是本章的重点内容之一。 建立线性规划模型，一般要经过以下三个步骤： 1.设变量：每一个实际问题往往都归结为求一个最佳方案，为了寻找最优方案，首先需要设定一组决策变量，用以表示待求方案。 2.列条件：每一个实际问题在解决时都要受到一定条件的制约，因此，模型中要把各种制约因素用决策变量的线性等式或不等式表示出来。 3.定目标：就是把所要达到的最优目标用决策变量的线性函数求极值表示出来。 下面通过几个实例来说明建立线性规划模型的步骤和技巧。 本 章 作 业 P26: 4（1）;5（1） P27: 8 P29: 11 * * 例10 某工厂生产A、B两种产品，均需经过两道工序，每生产一吨产品Ａ需要经过第一道工序２小时，第二道工序３小时，每生产一吨产品Ｂ需要经过第一道工序３小时，第二道工序４小时，可供利用的第一道工序工时为12小时，第二道工序工时为24小时。 生产产品B的同时产出副产品C，每生产一吨产品B，可同时得到2吨产品C而毋需外加任何费用。这副产品C一部分可以盈利，剩下的只能报废。 出售产品A每吨能盈利400元、产品B每吨能盈利1000元，每销售一吨副产品C能盈利300元，而剩余要报废的则每吨损失为200元。经市场预测，在计划期内产品C最大销量为5吨。试列出本问题的线性规划模型，决定A、B两种产品的产量，使工厂总的盈利为最大。 解：我们这样来设置决策变量： x1（吨）—产品A的产量； x2（吨）—产品B的产量； x3（吨）—产品C的销售量； x4（吨）—产品C的报废量； 例11（下料问题）某厂接受了一批加工订货，须加工100套钢架，每套由长2.9米、2.1米和1.5米的圆钢各一根组成。而现在仅有一批7.4米的棒料毛坯，问应如何下料，可使所用的棒料根数最少？ 解 本例的各种截料方案如下表所示： 8 7 6 5 4 3 2 1 下 料 方 案 根 数 长 度 1.4 1.1 0.9 0.8 0.3 0.2 0.1 0 料 头 6 6.3 6.5 6.6 7.1 7.2 7.3 7.4 合 计 4 0 1 3 0 2 1 3 1.5（米） 0 3 1 1 2 2 0 0 2.1（米） 0 0 1 0 1 0 2 1 2.9（米） 设按第i种截料方案下料的棒料毛坯根数为xi,i=1,2, …,8. 例12 根据四种食物所含维生素A、B、C的成分及食物的市场价格调查，按照医生提出的对每个人每天所需的营养要求，可得下面的表格：（表中营养含量为每公斤含量） 1.5 0.9 0.5 0.8 单 价 （元/kg） 30 30 0 7.5 17.5 维生素C （毫克） 1 0.3 0.68 0.27 0.6 维生素B （毫克） 4000 3250 1750 1500 1000 维生素A（国际单位） 每 天 最 低 需要量 丁 丙 乙 甲 营养 食物种类 含量 营养成分 问怎样采购食物才能在保证营养要求的前提下花费最省？ 解：设每天采购甲、乙、丙、丁四种食物分别为x1, x2, x3, x4（kg) 例13 （投资问题） 某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知：项目A，从第一年到第四年初需要投资，并于次年末回收本利115%；项目B，第三年初需要投资，到第五年末能回收本利125%，但规定最大投资额不超过4万元；项目C，第二年初需要投资，到第五年末能回收本利140%，但规定最大投资额不超过3万元；项目D，五年内每年初都可投资，于当年末归还，并加利息6%. 该部门现有资金10万元，问应如何确定这些项目的投资，使到第五年末拥有资金本利总额最大？ 解： 这是个连续投资问题，按投资的时间要求，设各年初投资额如下表所示： x11 x10 x8 x5 x2 D x4 C x7 B x9 x6 x3 x1 A 五