吉林大学远程教育 运筹学课件1.2.ppt

运 筹 学 主 讲 教 师 李 时 第一章 线性规划与单纯形法 §2 线性规划问题的标准型与解的概念 2.1 线性规划的标准型 若记 X=（x1,x2…xn）T,C=（c1,c2…cn）,b=（ b1,b2…bm）T A=（aij）n×n =（P1,P2…Pn） 则标准型亦可记作 maxZ= CX AX=b X≥0 2.1 线性规划解的概念 我们把决策变量的一组取值称为线性规划问题的一个解。满足约束条件的解称为可行解。所有可行解的集合称为可行域。使目标函数达到最优的可行解称为最优解。 在上一节图解法中，我们求得例1问题的最优解是唯一的， 但是线性规划问题的解还可能出现以下几种情况： （1）无穷多个最优解。若例1的目标函数变为maxZ=4x1+2x2 ，就会出现这种情况。见图1-1。 图1-1 （2）无可行解。如果约束中存在相互矛盾的约束条件，则导致可行域是空集，此时问题无可行解。 （3）无有限最优解。对下述线性规划问题 maxZ=x1+x2 -x1+x2≤4 x1-x2≤2 x1,x2≥0 用图解法求解结果见图1-2。 图1-2 线性规划基解的概念 记线性规划问题为 maxZ= CX （L） AX=b X≥0 基：设A是m×n阶约束系数矩阵（m≤n）,秩A=m. A=（ P1,P2,…,Pn ）,则A中一定存在m个线性无关的列向量，设为Pj1,Pj2,…,Pjm,称可逆矩阵B=（Pj1,Pj2,…,Pjm）为线性规划（L）的一个基，称B中的列向量对应的变量 xj1,xj2,…,xjm为基变量，其余变量称为非基变量。 基本解：记基变量为XB=（xj1,xj2,…,xjm）T，非基变量构成的列向量记为XN，并令XN =0，则有AX=ΣPjxj=BXB=b，于是有 XB=B-1b。称XB=B-1b， XN =0为线性规划（L）的一个基本解。 基可行解：若基本解中XB=B-1b≥0，则称该解为基可行解， 这时基B也称为可行基。 系数矩阵 A= ,秩A=2 * * 我们规定线性规划的标准型如下： maxZ=c1x1+c2x2+‥‥+cnxn a11x1+a12x2+‥‥+a1nxn＝b1 a21x1+a22x2+‥‥+a2nxn＝b2 …………………………… am1x1+am2x2+‥‥+amnxn＝bm x1,x2,‥,xn≥0 通常称cj(j=1,2…n)为价值系数，bi（i=1,2,…m)为资源系数；aij为技术系数，或约束系数。在模型中它们是常数。 或 maxZ= Σ Pjxj= b xj≥0, j=1,2…n 任何形式的线性规划都可以化为与其等价的标准形式。 （1）如果目标函数是 minZ=cx，则可令 Z=-Z，将目标函数变为：maxZ =-cx （2）如果某约束条件为不等式：ai1x1+ai2x2+‥‥+ainxn≤bi 则在约束条件的左端加一个非负变量xn+i,称之为松弛变量，即可变为等式: ai1x1+ai2x2+‥‥+ainxn+ xn+i =bi 如果某约束条件为不等式：ai1x1+ai2x2+‥‥+ainxn≥bi 则可在约束条件的左端减一个非负变量xn+i,称之为剩余变量 或松弛变量，即可变为等式: ai1x1+ai2x2+‥‥+ainxn-xn+i =bi （3）如果xj没有非负限制，则可令xj=xj′ -xj″,其中xj′ ，xj″ ≥0，代入目标函数及约束条件即可。