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【2017年整理】【十四讲】FIR滤波器的最佳逼近
南昌大学科学技术学院教案 课程 名称 数 字 信 号 处 理 授课 时间 周,星期 , 节( 年 月 日) 课次 授课 方式 ■理论课 □实验课 □其他 学时 2 授课 题目 FIR滤波器的最佳逼近 目的与要求: 重点与难点: 教具(多媒体、模型、图表等): 板书、多媒体 南昌大学科学技术学院教案 教 学 内 容 教学方法 时间分配 阐述+提问 随堂掌握 课堂设问: 教学内容小结: 复习思考题或作业题: 教学后记(此项内容在课程结束后填写): 南昌大学科学技术学院讲稿 7.6 FIR滤波器的最佳逼近 采用窗函数法设计FIR滤波器方法简单,通常会得到一个性能相对很好的滤波器。但是在以下两个方面的问题,这些滤波器的设计还不是最优的: (1)通带和阻带的波动基本上相等,虽然一般需要δ2小于δ1,但是在窗函数法中不能分别控制这些参数。 所以,窗函数法需要在通带内对滤波器“过设计”(即通带内的技术指标超过所要求的技术指标),这样才能满足阻带的严格要求。 (2) 对于大部分窗函数来说,通带内或阻带内的波动不是均匀的,通常离开过渡带时会减小。若允许波动在整个通带内均匀分布, 那么就会产生较小的峰值波动。 另一方面,对于一个给定的滤波器阶数M(M=N-1),在所有频带内波动的幅度最小。在这个意义上说,等波纹线性相位滤波器是最优的。所以,等波纹线性相位滤波器设计法又称为等波纹最佳一致逼近设计法。 一个FIR线性相位滤波器的频率响应可以写成 (7-123) 式中,幅度H(ω)是ω的实值函数。对于第一类线性相位滤波器 h(n)=h(N-1-n) 式中,N是奇数。利用h(n)的对称性可以将频率相应表示为 (7-124) 式中,L=(N-1)/2,且有: Hd(ω)是期望的幅度; W(ω)是一个正的误差加权函数, 它是为在通带或阻带要求不同的逼近精度而设计的。一般地,在要求逼近精度高的频带, W(ω)取值大; 要求逼近精度低的频带, W(ω)的取值小。设计过程中W(ω)为已知函数。设 E(ω)=W(ω)[Hd(ω)-H(ω)] 是一个加权逼近误差。等波纹滤波器设计问题就是求系数a(k), 要求在一组频率F上使E(ω)的最大绝对值最小, 例如,为了设计一个低通滤波器,频率组F可以是通带[0, ωp]和阻带[ωs, π]内的频率,如图7-29所示。过渡带[ωp, ωs]是不关心的区域,求加权误差最小时不作考虑,此时可以采用交错定理求这个最优化问题。 图 7-29 等波纹滤波器设计中的频率组, 包括通带[0, ωp]和阻带[ωs, π] 过渡带[ωp, ωs]是不关心的区域 交错定理:设F是[0, π]区间内封闭子集的并集,对于一个正的加权函数W(ω), 在F上,H(ω)能成为惟一使加权误差|E(ω)|最大值最小的函数。 其充要条件是:在F上E(ω)至少有L+2个交错值。也就是说,在F上必须至少有L+2 个极值频率, ω0ω1…ωL+1 这样 E(ωk)=-E(ωk+1) k=0, 1, …, L 且 k=0, 1, …, L+1 交错定理说明最优滤波器是等波纹的。虽然交错定理确定了最优滤波器必须有的极值频率(或波动)最少数目,但是可以有更多的数目。例如,一个低通滤波器可以有L+2个或L+3 个极值频率,有L+3 个极值频率的低通滤波器称作超波纹滤波器。 由交错定理可以得到: W(ωk)[Hd(ωk)-H(ωk)]=(-1)kε k=0, 1, …, L+1 式中, 是最大的加权误差绝对值,这些关于未知数a(0), …, a(L)以及ε的方程可以写成下面矩阵的形式: 给定了极值频率,就可以解关于a(0), …, a(L)以及ε的方程。 为了求极值频率,可以采用一种高效的迭代过程,称作帕克斯-麦克莱伦(ParksMcClellan)算法。具体步骤如下: ① 估计一组初始极值频率(可任选)。 ② 解方程(7-113)求ε,可以证明ε的值为 式中: ③ 利用拉格朗日插值公式在极值频率之间插值,计算F上的加权误差函数。 ④ 先选择使插值函数最大的L+2 个频率, 然后再选择一组
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