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巧用概率模型解决代数问题 　　【摘要】 概率论是数学研究的一个重要分支，能够通过其独特的定义、方法，运用一定的模型解决其他数学分支的难题.代数是学生数学学习中的重要内容，由于代数问题的抽象性，常常使学生对代数的学习产生一种畏难心理，阻碍学生进一步的数学学习.基于此，文章通过将概率模型与代数问题相结合，通过构造一定的概率模型来解决代数难题，使学生能够将抽象的代数问题运用直观的概率模型加以表现、解决.本文试图从概率模型在数列问题、代数恒等式问题、代数不等式问题以及排列组合中的应用来介绍如何通过构建概率模型直观地解决代数问题. 【关键词】 概率模型；代数问题；解决 【基金项目】 区级科研项目，项目名称：基于校企合作模式的嵌入式实训平台研究与建设，项目编号：KY2016LX101；院级教改项目，项目名称：面向应用型本科的《线性代数》的教学研究. 一、概率模型在数列问题中的应用 数列求和问题是学生在代数学习中经常遇到的问题，也是常常困扰他们的难题.有些学生通过公式记忆来解决这类问题，导致遇到新题型时往往不知变通.但如果仔细研究不难发现，有些数列问题可以通过构建一定的概率模型加以解决. 例1 数列的级数求和： 求证∑ ∞ n=1 n （n+1）！ =1. 解题思路：构造与之相应的概率模型：假设这是一个概率实验，在一个重复、独立的实验条件下，若其每次只可能有两种实验结果，即A发生和A不发生. n n+1 为第n次试验中A可能发生的概率，在实验中假设A发生则整个试验成功，则题目就转换成为计算试验成功率的概率问题，进而用概率方法和原则对问题求解. 对上述试验的分析得知： （1）假设在第一次试验中A就发生，则其发生的概率可能性为 1 2 ； （2）假设在第二次试验中A发生，第一次试验中A不发生，则事件发生的概率可能性为 1- 1 2 × 2 3 = 2 3！ ； （3）假设在第三次试验中A发生，第一次实验中A不发生、第二次试验中A也不发生，则该事件的概率可能性为 1- 1 2 1- 2 3 × 3 4 = 3 4！ ； 如果这个实验在这种情况下一直循环进行下去，那么事件成功的可能性，也即成功的概率可以表示为： 1 2！ + 2 3！ + 3 4！ +…+ n （n+1）！ +…=∑ ∞ n=1 n （n+1）！ . 由于每一个试验并不总是成功，因此，我们将在每一次试验中失败的概率依次表示为 1- 1 2 ，1- 2 3 ，…，1- n n+1 ，…. 在此基础上，我们将每一次试验都失败的概率表示为 lim n→∞ 1- 1 2 1- 2 3 … 1- n n+1 =lim n→∞ 1 n！ =0. 通过这个模型可以得出结论，试验失败的概率为0，据此我们可以得出试验成功的概率为1-0=1，用公式模型表示出来就是 ∑ ∞ n=1 n （n+1）！ =1. 二、概率模型在代数恒等式中的应用 代数恒等式的证明方法有许许多多，诸如几何法、代数法、定理证明法等等.但随着学生数学学习难度的加大，越来越多的代数恒等式的求证问题用传统常规的运算方法很难求解，无法快速有效地切中问题的命脉，找出问题的核心所在进而快速解决该数学难题；另一方面，随着学生数学学习内容的不断扩大与加深，尤其是在对概率论不断学习的基础上，如果能巧妙地运用所学到的概率论知识，在求解代数恒等式难题时构建相应的概率模型，找出问题的核心要点，就能够巧妙迅速地解决数学难题，进而进一步激发数学学习的热情. 例2 求证下列代数恒等式成立： ∑ n r=0 Crn+r[（1-x）n+1xr+xn+1（1-x）r]=1. 解题思路：将该模型看作是一个现实生活中实际的概率应用模型.假设A和B两个队伍共同参加一项体育竞赛，在整个竞赛中，谁先赢得n+1场胜利谁所在的队伍就将在整场比赛中优先胜出，在整个比赛中不存在平局的现象.由此，我们设x是A队在每一次竞赛中胜出B队的概率可能性，由此可以推出，1-x是B队在每一次竞赛中胜出A队的概率可能性.在n+1+r场比赛中（r=1，2，3，4，…，n），A队要想最后获得冠军，必须要在最后一轮竞赛中战胜B队，在此前提下，还必须要在前n+r场比赛中取得n场胜利.由此，我们可以将A队在n+1+r场比赛中获胜的可能性用概率公式表示出来，即 P（A）=∑ n r=0 Cnn+rxn+1（1-x）r. 依据A队胜出的概率模型的构建，我们可以用同样的方法构建B队在n+1+r场比赛中胜出可能性的概率模型 P（B）=∑ n r=0 Cnn+r（1-x）n+1xr. 在此基础上，我们可以很清楚地看到P（A）+P（B）=1，很容易就将整